ZARYS TEORII WEKTORÓW I TENSORÓW

Edmund Karaśkiewicz

Wydawnictwo: PWN, 1974
Oprawa: twarda płócienna
Stron: 506
Stan: bardzo dobry, nieaktualna pieczątka

SPIS TREŚCI

Przedmowa

Rozdział I. Algebra wektorów

1. Pojecie wektora
Skalary i wektory Wektory swobodne i związane Oznaczanie wektorów i ich miar. Wektor jednostkowy Dodawanie i odejmowanie wektorów Mnożenię wektora przez liczbe — Zależnośćć liniowa wektorów — Przykłady
Ćwiczenia I

2. Iloczyn skalarny
Kąty miedzy wektorami oraz miedzy wektorami a osia. Rzut wektora Iloczyn skalamy wektorów Praca jako iloczyn skalarny wektorów Podstawa jednostkowa prostokątna Składowe wektora Ilo­czyn skalamy dwóch wektorów wyrażony przez współrzędne Obrót i odbi­cie lustrzane okładów współrzędnych Iloczyn skalamy jako niezmiennik Ortogonalne transfounacje liniowe Podwójne znaczenie transfor­macji wektora Transformacie złożone Własności transformacji Ortogonalnych Kąty Eulera Ruchy kuli ziemskiej Przykłady
Ćwiczenia II

3. Iloczyn wektorowy
Definicja iloczynu wektorowego Wektory osiowe i biegunowe Własności iloczynu wektorowego Iloczyn wektorowy wyrażony przez współrzędne Zmiana iloczynu wektorowego przy transformacji ukła­du Moment obrotowy Prędkość liniowa w mchu obrotowym Zestawienie własności iloczynów

4. Iloczyny wielokrotne
Iloczyn mieszany Iloczyn mieszany wyrażony przez współrzędne
Wyznacznik Grama Podwójny iloczyn wektorowy Po­czwórne iloczyny wektorowe — Przykłady
Ćwiczenia III Zasto­sowanie poznanych wzorów do geometrii, trygonometrii i mechaniki — Przy­kłady
Ćwiczenia IV

5. Funkcje liniowe wektora
Podstawy odwrotne . Zastosowanie układów odwrotnych — Przy­kłady - Ćwiczenia Odwzorowanie powinowate Transformacje układu Jednorodna funkcja liniowa wektora Wła­sności liniowej funkcji wektora określającej odwzorowanie afiniczne Redu­kcja jednorodnej funkcji liniowej wektora Iloczyn diadyczny i diady Postać dziewiątkowa diady Diady symetryczne Diady antysymetryczne Rozkład diady na część symetryczną i antysymetryczną Skalar i wektor diady Iloczyn skalarny diod Iloczyn wektorowy diady przez wektor Podwójny iloczyn skalarny - Przy­kłady Ćwiczenia

Rozdział. II Analiza wektorów

6. Różniczkowanie i całkowanie wektorów
Definicja różniczkowania i całkowania wektorów ze względu na pewien para­metr Pochodne sum i iloczynów Obrót podstawy jednostko­wej Pochodne cząstkowe wektora - Przykłady — Ćwiczenia

7. Geometria krzywych.
Podstawa towarzysząca Płaszczyzna ściśle styczna i normalna głó­wna Wektor Darboux Wzory Serreta - Frencta Wzory na pierwszą i drugą krzywiznę Ruch punktu po krzywej — Przykłady
Ćwiczenia VIII

8. Funkcje wektorów wielu zmiennych
Współrzędne krzywoliniowe na powierzchni Pierwsza podstawowa forma różniczkowa powierzchni Druga podstawowa forma różniczkowa powierzchni —Krzywizna normalna krzywej na powierzchni Współ­rzędne krzywoliniowe w przestrzeni Element objętościowy Przy­kłady - Ćwiczenia

Rozdział III. Analiza pól

9. Funkcje pola
Definicja pola Pole skalarne Gradient Gradient jako niezmiennik Pochodna funkcji pola skalarnego wzdłuż danego kie­runku Pochodna funkcji pola wektorowego wzdłuż danego kierunku Dywergencja i rotacja Przykłady
Ćwiczenia X

10. Operator
Formalny rachunek symbolem Stosowanie operatora V dwukrotnie
Wzory dla promienia wodzącego Przykłady
Ćwiczenia XI

11. Dywergencja.
Wydajność źródeł Twierdzenie Gaussa - Ostrogradskiego Wzory Grecna Dywergencja jako niezmiennik Pole bezżródłowe Niezmienniki pola Przykłady
Ćwiczenia XII

12. Rotacja
Rotacja pola prędkości Całki krzywoliniowe Własności całek krzywoliniowych — Zachowawcze pole sił. Energia potencjalna Całkowanie na płaszczyźnie Twierdzenie Stokcsa Przykłady
Ćwiczenia XIII

13. Wektory bezwirowe i solenoidalne
Obszary jedno i wielospójne Wektory bezwirowe Poten­cjał prędkości Wektor solenoidalny Potencjał wektorowy Warunki całkowalności Całki krzywoliniowe w obszarach wielospójnych Potencjał grawitacyjny . Potencjał w punkcie położonym wewnątrz ciała Równanie Poissona Rozwiązanie równania Poissona Twierdzenie o jednoznaczności pola wektorowego Wyznaczanie pola wektorowego z jego źródeł i wirów — Przykłady Ćwiczenia

14. Funkcje pola we współrzędnych krzywoliniowych
Współrzędne krzywoliniowe Układ krzywoliniowy prostokątny
Współrzędne walcowe Współrzędne sferyczne Gradient, dywergencja i rotacja we współrzędnych krzywoliniowych Przykłady Ćwiczenia XV Funkcje harmoniczne Rozwiązywanie równania Laplace'a w dwu wymiarach Rozwiązywanie równania Laplace'a w trzech wymiarach Równanie Poissona dla punktowego rozkładu mas — Teoria potencjału w elektrostatyce Dipol i warstwa podwójna
Przewodniki elektryczne Dielektryki Przykłady Ćwiczenia

Rozdział IV. Wektory i tensory w afinicznej przestrzeni wektorowej

15. Wektory w przestrzeni wektorowej
Uogólnienie pojęcia przestrzeni Przestrzeń metryczna i wektorowa Pewniki afmiczne przestrzeni wektorowej Transforma­cja układów prostoliniowych Wektory koła wariantne i kowariantne
Transformacje okładów krzywoliniowy

16. Tensory w afinicznej przestrzeni wektorowej
Pojecie obiektu geometrycznego Wektory i tensory o składowych kontrawariantnych Wektory i tensory o składowych kowariantnych
Tensory o składowych mieszanych Podstaw owa własność ten­sorów Przykłady Ćwiczenia

17. Działania na tensorach
Dodawanie tensorów Mnożenie tensora przez skalar Ilo­czyn zewnętrzny tensorów Kontrakcja tensorów Iloczyn wewnętrzny tensorów Warunki wystarczające na to, by obiekt geometryczny był tensorem Tensory symetryczne i antysymetryczne — Iloczyny zewnętrzne wektorów. Poliwektory Pseudotensory — Pojemność i gęstość skalarna Pojemność i gęstość tensoro­wa Przykłady Ćwiczenia

Rozdział V. Wektory i tensory w metrycznej przestrzeni Euklidesa

18. Metryka w przestrzeni Euklidesa Iloczyn skalarny Tensor metryczny Własności tensora metrycznego Podstawowa forma kwadratowa. Długość łuku krzywej
Wyznacznik tensora metrycznego. Przestrzeń Euklidesa Skła­dowe wektora kowariantnego Rzuty wektora na dany kierunek
Podwyższanie i obniżanie wskaźników Transformacja wyznacznika g przy zmianie układu współrzędnych Przykłady Ćwiczenia

19. Analiza tensorów
Pochodna pola wektorów wzdłuż krzywej w przestrzeni euklidesowej o ukła­dzie prostoliniowym Pochodna wektora w układzie krzywoliniowym Symbole Christoffela Pochodna absolutna tensorów Pochodna kowariantna Pochodna kowariantna złożonych wyrażeń tensorowych Kontrakcja symboli Christoffela — Pochodna kowa­riantna pseudotensorów Operatory różniczkowe Prawdziwe wielkości składowych Przykłady Ćwiczenia

Rozdział VI. Wektory i tensory w przestrzeni Riemanna.

20. Tensory w przestrzeni Riemanna
Tensor metryczny Działania na tensorach w przestrzeni Riemanna Analiza tensorów w przestrzeni Riemanna Przestrzeń liuklidcsa sty­czna do przestrzeni Riemanna

21. Przeniesienie równoległe
Wektory równolegle w przestrzeni Euklidesa i w przestrzeni Riemanna Równanie geodetyki Długości wektorów i kąty w przestrzeni Riemanna przy przeniesieniu równoległym Stacjonarna długość linii geodezyjnej

22. Tensor krzywizny
Krzywizna przestrzeni Krzywizna przestrzeni Riemanna Tensor krzywizny Riemanna-Christoffela Składowe kowariantne tensora krzywizny Tensor Ricciego — Einsteina Tożsamość Bianchiego Przykłady Ćwiczenia

Odpowiedzi do ćwiczeń
Bibliografia
Skorowidz