Wybrane metody numeryczne z przykładami zastosowań w zadaniach inżynierskich
Stanisław Rosłoniec
rok wydania: 2008 (wyd. 2 poprawione i rozszerzone)
stron: 304
oprawa: miękka
format: B5
wydawnictwo: Politechnika Warszawska
W opracowaniu przedstawiono wybrane metody numeryczne wykorzystywane do rozwiązywania układów równań liniowych i nieliniowych, interpolowania i aproksymowania funkcji jednej zmiennej, całkowania funkcji jednej i wielu zmiennych, różniczkowania funkcji jednej i wielu zmiennych oraz całkowania układów równań różniczkowych zwyczajnych. Wszystkie przedstawione metody zilustrowano przykładami wynikającymi z konkretnych zadań inżynierskich. Skrypt ten może być wykorzystywany w szkołach wyższych o profilu technicznym.
SPIS TREŚCI:
PRZEDMOWA 7
WSTĘP 9
Rozdział 1
METODY NUMERYCZNEGO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH 13
1.1. Metody dokładne 18
1.1.1. Metoda eliminacji Gaussa 18
1.1.2. Metoda eliminacji Gaussa-Jordana 22
1.1.3. Metoda rozkładu LU 24
1.1.4. Metoda macierzy odwrotnej 27
1.2. Metody iteracyjne 29
1.2.1. Metoda sukcesywnych poprawek 30
1.2.2. Metody iteracyjne Jacobiego i Gaussa-Seidela 31
1.3. Przykłady zastosowań 36
Rozdział 2
METODY NUMERYCZNEGO ROZWIĄZYWANIA POJEDYNCZYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH 41
2.1. Wyznaczanie pierwiastków równań wielomianowych metodami Lina, Bairstowa i Laguerre'a 42
2.1.1. Metoda Lina 42
2.1.2. Metoda Bairstowa 44
2.1.3. Metoda Laguerre'a 48
2.2. Iteracyjne metody rozwiązywania równań transcendentnych 49
2.2.1. Metoda bisekcji 50
2.2.2. Metoda cięciw 51
2.2.3. Metoda stycznych (Newtona-Raphsona) i związana z nią metoda siecznych 52
2.3. Metody numerycznego poszukiwania minimum funkcji jednej zmiennej 54
2.4. Przykłady zastosowań 56
Rozdział 3
METODY NUMERYCZNEGO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH 61
3.1. Metoda iteracji prostych 61
3.2. Metoda iteracyjna ze zmiennym parametrem 63
3.3. Metoda Newtona 64
3.4. Metody optymalizacyjne 69
3.5. Przykłady zastosowali 70
Rozdział 4
METODY INTERPOLACJI I APROKSYMACJI FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 81
4.1. Metody interpolacji funkcji jednej zmiennej 84
4.1.1. Interpolacja odcinkami (krzywa łamaną) 84
4.1.2. Interpolacja wielomianem Lagrange'a 85
4.1.3. Procedura interpolacyjna Aitkena 88
4.1.4. Interpolacja wielomianem Newtona-Gregory'ego 90
4.1.5. Interpolacja sześcienna funkcją sklejaną 95
4.2. Metody aproksymacji funkcji jednej zmiennej 99
4.2.1. Aproksymacja liniowa kombinacją wielomianów Czebyszewa pierwszego rodzaju 99
4.2.2. Aproksymacja funkcji stałej wielomianem spełniającym kryterium równomiernego przybliżenia 104
4.2.3. Aproksymacja funkcji stałej wielomianem spełniającym kryterium maksymalnej płaskości 108
4.2.4. Metoda najmniejszych kwadratów 110
4.2.5. Aproksymacja funkcji okresowych ortogonalnymi szeregami 116
4.3. Przykład zastosowania wielomianów Czebyszewa do aproksymacji charakterystyki grupowej liniowego szyku antenowego 123
Rozdział 5
CAŁKOWANIE FUNKCJI JEDNEJ I DWÓCH ZMIENNYCH METODAMI NUMERYCZNYMI 132
5.1. Obliczanie przybliżonej wartości całki oznaczonej przez rozwiniecie funkcji podcałkowej w szereg funkcji elementarnych 135
5.2. Metody numerycznego całkowania funkcji jednej zmiennej 137
5.2.1. Metody prostokątów i trapezów 137
5.2.2. Metoda Romberga 140
5.2.3. Metoda Simpsona 143
5.2.4. Metoda Newtona-Cotesa 147
5.2.5. Metoda funkcji sklejanej 149
5.2.6. Kwadratury Gaussa i Czebyszewa 150
5.3. Metody numerycznego całkowania funkcji dwóch zmiennych 157
5.3.1. Metoda elementarnych komórek 157
5.3.2. Uogólniony, kubaturowy wzór Simpsona 159
5.4. Przykład zastosowania numerycznego Całkowania do wyznaczania pozycji zliczanej przemieszczającego się obiektu 162
Rozdział 6
METODY NUMERYCZNEGO OBLICZANIA POCHODNYCH FUNKCJI JEDNEJ I DWÓCH ZMIENNYCH 165
6.1. Wzory różnicowe do obliczania pochodnych funkcji jednej zmiennej 169
6.2. Obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej poprzez różniczkowanie interpolującego ją wielomianu 174
6.2.1. Różniczkowanie wielomianu Newtona-Gregory'ego 174
6.2.2. Różniczkowanie sześciennej funkcji sklejanej 177
6.3. Wzory różnicowe do obliczania pochodnych cząstkowych funkcji dwóch zmiennych 179
6.4. Przykład zastosowania metody optymalizacyjnej wykorzystującej pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych 184
Rozdział 7
METODY NUMERYCZNEGO ROZWIĄZYWANIA NIELINIOWYCH RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH 189
7.1. Zadanie Cauchy'ego i metody jego rozwiązywania 189
7.2. Metody jednokrokowe 190
7.2.1. Metoda Eulera i jej udoskonalona wersja 190
7.2.2. Metoda Henna 192
7.2.3. Metody Rungego-Kutty 194
7.2.4. Metoda Rungego-Kutty-Felhlberga RKF 45 196
7.3. Wielokrokowe metody prognozy i korekcji 200
7.3.1. Metoda Adamsa-Bashfortha-Moulthona 203
7.3.2. Metoda Milne'a-Simpspna 205
7.3.3. Metoda Hamminga 208
7.4. Przykłady zastosowania metody RK 4 do rozwiązywania układów równań różniczkowych opisujących wybrane urządzenia prostownicze 210
7.4.1. Niesymetryczny podwajacz napięcia 210
7.4.2. Dwupołówkowy prostownik z trójelementowym ogniwem filtrującym 215
7.4.3. Czterokrotny, symetryczny powielacz napięcia 222
7.5. Przykład rozwiązania równania różniczkowego typu Riccatiego opisującego odcinek niejednorodnej linii długiej 229
7.6. Przykład rozwiązania zadania granicznego metodą różnic skończonych 233
Rozdział 8
PRZYKŁADY ZASTOSOWANIA METODY RÓŻNIC SKOŃCZONYCH DO ROZWIĄZYWANIA WEWNĘTRZNEGO, BRZEGOWEGO ZAGADNIENIA LAPLACE'A 236
8.1. Wewnętrzne i zewnętrzne zagadnienie brzegowe dla równania Laplace'a 238
8.2. Algorytm numerycznego rozwiązywania równania Laplace'a funkcji dwóch zmiennych metodą różnic skończonych 240
8.2.1. Procedura obliczeniowa Liebmanna 244
8.2.2. Metoda nadrelaksacyjna (SOR) 251
8.3. Wzory różnicowe do numerycznego obliczania składowych wektora natężenia pola elektrycznego 255
8.4. Przykłady obliczeń impedancji charakterystycznej i współczynnika tłumienia wybranych prowadnic falowych typu TEM metodą różnic skończonych 258
8.4.1. Ekranowana, symetryczna linia paskowa 260
8.4.2. Linia współosiowa z kwadratowymi przewodami 263
8.4.3. Symetryczna linia paskowa 264
8.4.4. Ekranowana, podwieszona linia paskowa 266
8.4.5. Ekranowana linia cylindryczno-płaska 271
8.4.6. Symetryczne linie paskowe sprzężone 277
8.4.7. Linie cylindryczno-płaskie sprzężone 283
LITERATURA 287
DODATKI
1. Równanie płaszczyzny w trójwymiarowej przestrzeni 290
2. Macierz odwrotna względem zadanej, nieosobliwej macierzy kwadratowej 291
3. Algorytm metody rekurencyjnych współczynników 292
4. Wzory Doolittle'a umożliwiające przedstawienie nieosobliwej macierzy kwadratowej w postaci iloczynu dwóch macierzy trójkątnych 294
5. Całkowe przekształcenie Fouriera 295
ó. Funkcje Bessela pierwszego rodzaju jako współczynniki szeregu Fouriera 297
7. Wzór różnicowy do obliczania funkcji potencjału elektrycznego w punktach leżących na granicy rozdziału dwóch bezstratnych ośrodków dielektrycznych bez ładunków 300
SKOROWIDZ 302
