Str.

Przedmowa................. IX

Errata................... XI

CZĘSC I PODSTAWY TEORII ODWZOROWAŃ

Rozdział I. Pojęcie odwzorowania

1. Porównywanie powierzchni........... 1

2. Definicją odwzorowania jednej powierzchni na inną . . 3

3. Funkcje odwzorowawcze............ 4

4. Porównanie obrazu z oryginałem......... 8

5. Dwa podstawowe zadania teorii odwzorowań .... 21

6. Odwzorowanie bezpośrednie i pośrednie ...... 23

7. Odwzorowanie rzutowe............. 24

Rozdział II. Odwzorowanie izometryczne

8. Definicja.................. 25

9. Główne kryterium równodługościowości...... 26

10. Krzywiznowe kryterium równodługościowości..... 28

11. Badanie niezmienników odwzorowania równodługo^cioT wego................... 30

12. Deformaeja, czyli gięcie powierzchni......... 32

13. Powierzchnie rozwijalne i nierozwijalne...... 33

Rozdział III. Klasyfikacja odwzorowań

14. Zas.ady klasyfikacji........., . . . . 39

15. Klasyfikacją przedmiotowa........... 40

16. Klasyfikacja rodzajowa............. 40

17. Klasyfikacja metryczna............. 42

18. Odwzorowania konforemne........... 44

19. Odwzorowania równopowierzchniowe........ 52

20. Konforemność (równokątność) i równppowierzchniQwq4ć— dyzjunkcją................. 5,5

CZĘSC II TEORIA ZNIEKSZTAŁCEŃ METRYCZNYCH

Rozdział IV. Nierozwijalność kuli na płaszczyźnie. Siatki ortogonalne Tissota

Str.

21. Wstęp................... 55

22. Dowód nierozwijalności kuli na płaszczyźnie..... 60

23. Dowód nierozwijalności elipsoidy obrotowej na płaszczyznę 65

24. Pierwsze twierdzenie Tissota (o siatkach ortogonalnych) 67

Rozdział V. Teoria skali

25. Skala i podziałka............... 77

26. Skala, jako funkcja kąta kierunkowego ....... 81

27. Badanie ekstremów skali............ 89

28. Wartości ekstremalne skali........... 97

29. Linie równo długościowe............. 103

30. Związki między skalami ekstremalnymi i skalami parametrowymi ................. 106

Rozdział VI. Zniekształcenie kątów i pól

31. Zniekształcenie kątów............. 113

32. Zniekształcenie kąta kierunkowego........ 118

33. Maksymalne zniekształcenie kąta kierunkowego . . . 123

34. Zniekształcenie kątowe jako funkcja kierunku .... 126

35. Skala pól i zniekształcenie elementarne pól..... 130

Rozdział VII. Zniekształcenia metryczne jako funkcje skal i kierunków ekstremalnych. Rzutowość cząsteczkowa

36. Wyrażenie zniekształceń metrycznych za pomocą skal

i kierunków ekstremalnych...........137

37. Przyjęcie siatki krzywych głównych odwzorowania za siatkę współrzędnych powierzchniowych......142

38. Drugie twierdzenie Tissota, czyli ogólne prawo odwzoro-wawcze........,.........ąq

Rozdział VIII. Zniekształcenia skończone i redukcje od-wzorowawcze

39. Zniekształcenia odwzorowawcze elementarne i skończone 157

40. Redukcje odwzorowawcze.......... . . 160

41. Znaczenie teorii zniekształceń odwzorowawczych . . . 164

CZĘSC III

POSZUKIWANIE ODWZOROWAŃ SPEŁNIAJĄCYCH ROZMAITE WARUNKI OGÓLNE

Rozdział IX. Warunki ogólne. Ortogonalność

Str.

42. Charakter warunków............. 167

43. Ortogonalność obrazu siatki parametrowej......169

Rozdział X. Odwzorowanie konforemne

44. Ogólna teoria odwzorowania konforemnego..... 171

45. Odwzorowania konforemne płaskie........ 187

46. Konforemne odwzorowanie powierzchni obrotowej na kulę 210

47. Funkcja zmiennej zespolonej i jej rola w teorii odwzorowań konforemnych............. 219

48. Notatka historyczna o teorii konforemności..... 233

Rozdział XI. Odwzorowanie równopowierzchniowe

49. Ogólna teoria odwzorowań równopowierzchniowych . . 243

50. Odwzorowania równopowierzchniowe płaskie dla płaszczyzny i elipsoidy obrotowej spłaszczonej...... 248

51. Odwzorowanie równopowierzchniowe elipsoidy obrotowej spłaszczonej na kulę o równej powierzchni..... 253

52. Rozwiązania poszczególne............ 256

53. Notatka historyczna o teorii równopowierzchniowości 261

Rozdział XII. Warunki dotyczące zniekształceń odwzorowawczych

54. Poszukiwanie odwzorowania płaskiego, najkorzystniejszego dla danego obszaru (Teoria Tissota)......269

55. Miary zniekształcenia i kryteria dobroci odwzorowania 291

Rozdział XIII. Warunki dotyczące rodzaju, albo kształtu iinij przekształconych

56. Odwzorowanie geodezyjne, czyli crtodromiczne .... 307

57. Krzywizna linii na powierzchni.......... 310

58. Odwzorowania płaskie prostoliniowe........ 316

59. Odwzorowania płaskie kołowe.......... 325

Rozdział XIV. Warunki dotyczące sposobu odwzorowania

Str.

60. Odwzorowanie sferyczne Gaussa......... 331

61. Odwzorowanie rzutowe . ¦............ 340

Przypisy.................. 343

Skorowidz znaków.............. 367

Skorowidz nazw ,.............. 36,9

Skorowidz nazwisk.............. 371

Literatura.................. 373

Wydawnictwa Głównego Urzędu Pomiarów Kraju . . . 375

Istnieje dość liczna literatura naukowa o odwzorowaniach kartograficznych, zwłaszcza w językach obcych. Lecz prawie wszystkie książki dość powierzchownie traktują sprawą podstaw tej nauki, na rzecz utylinarnych zastosowań praktycznych. W dziełach o kartografii matematycznej znaleźć można conajwyżej krótkie rozdziały, albo tylko wzmianki, wnikające w ogólne podstawy nauki o odwzorowaniach powierzchni.

Teoria odwzorowań należy zasadniczo do geometrii różniczkowej, jako dział teorii powierzchni. Geodeta i kartograf żąda jednak innego podejścia i ujęcia tematu, niż matematyk. Niniejsza książka zajmuje pośrednie stanowisko; miejsce jej jest na pograniczu matematyki i geodezji. Matematyk, poza ujęciem tematu oraz pewnymi rozwinięciami teorii i naświetleniami z punktu widzenia geodety i kartografa, nie znajdzie prawdopodobnie w tej książce wiele nowego, i zapewne uzna ją za elementarną i nieco rozwlekłą. Geodeta i kartograf uzna ją, być może, za zbyt oderwaną, oraz zupełnie różną od dzieł zwykle spotykanych i używanych.

Książka, jak zaznaczono w tytule, przeznaczona jest dla geodetów i kartografów. Względy dydaktyczne w znacznym stopniu były brane pod uwagę przy jej pisaniu. Autor wychodził ze stanowiska, że książki matematyczne dla niema tematyko w powinny być pisane bardzo jasno, przystępnie i poglądowo, a jednocześnie bardzo ściśle. Dlatego nie unikano omówień i powtórzeń, gdy rozważania tego wymagały. Wiele kwestyj autor starał się ująć z perspektywy rozwoju historycznego; trudno bowiem nie uznać słuszności poglądu, że jeśli o czymś nie wiemy jak się to stało, to i najczęściej nie rozumiemy tego.

Duży nacisk położony został na stronę pojęciową; definicje pojąć i poprawność terminologiczna były stałą troską autora.

Autor starał się usilnie dotrzeć do źródeł i oryginalnych prac klasycznych, związanych z tematem, nie zadawalając się materiałem wtórnym z późniejszych opracowań.

Sporo uwagi poświęcono notatkom historycznym, zwłaszcza w teorii konforemności i w teorii równopolowości.

Treść niniejszej książki, złożonej z trzech części w czternastu rozdziałach, jest widoczna ze spisu rzeczy. W przypisach na końcu książki podano uzupełnienia oraz rachunki matematyczne, które pominięto w tekście, aby nie przerywać biegu myśli sprawami

0 podrzędniejszym znaczeniu.

Mam nadzieję, że książka ta będzie skromnym przyczynkiem naukowym i przyniesie korzyść. Byłoby bardzo właściwe, na tej podbudowie matematycznej, rozwinąć i przepracować praktyczną stronę teorii odwzorowań wraz z zastosowaniem w kartografii do sporządzania map.

Niech mi wolno będzie złożyć wyrazy szczerej wdzięczności

1 serdecznego podziękowania Jego Magnificencji Rektorowi Politechniki Warszawskiej, Prof. inż. Edwardowi Warchałowskiemu, któremu, od zarania mych studiów geodezyjnych pod Jego kierunkiem, zawdzięczam wzbudzenie ducha i zapału naukowego, bez których praca niniejsza i prace moje wcześniejsze z pewnością nie mogłyby powstać. Dzięki Jego poparciu praca ta ukazuje się również w druku.

Dziękuję pracownikom zecerni i drukarni Biura Kartograficznego Głównego Urzędu Pomiarów Kraju, a w szczególności Ob. Danielowi Gajowiec i Ob. Stanisławowi Maliszewskiemu, za dobry skład i druk trudnego tekstu matematycznego, pomimo braku właściwych czcionek i trudności technicznych.

Dr inż. Franciszek Biernacki Warszawa, dnia 22 sierpnia 1949 r.

Afinizm 342.

Cząsteczkowe prostokąty 73, ¦— pokrewieństwo 146, — podobieństwo 146. Deformacja powierzchni 25, 32, dwukierunek 9, 433, dwustosunek 342, dualizmu zasada 4, 96, drugie zadanie podstawowe teorii odwzorowań 22, 49, 54, 167, drugie twierdzenie Tissota 146. Ekstrema skali 89 — 96, pierwsze twierdzenie o ekstremach 89 — 92, drugie twierdzenie 92—95, maksimum skali 92, 351, minimum skali 92, trzecie twierdzenie 96, elementy niewłaściwe 340. Funkcje, — analityczne 172, 223, — odwzorowawcze 4, 5, 21, — zmiennej zespolonej 219, sprzężone 224. Gaussa odwzorowanie, — sferyczne 2, 41, 168, 331 i nast, — konforem-ne 213, 217,

geodezyjne odwzorowanie 307, gięcie powierzchni 32, 33. Izogonalność 50, 51, izogony odwzorowawcze 121, izokole 103, 121, 132, izometria 25, 31, 52, 55, izometryczne współrzędne 172, 177,

180, 190, 197, 204, izoskale 103, — pól 132. Jakobian 6.

Kartografia matematyczna 41, — elipsoidalna 41, — sferyczna 41,

kąt kierunkowy 76,

kierunek 21,

kierunki główne 75, 76,

klasyfikacja odwzorowań 39, 40,

kolineacja 342,

koło geodezyjne 310,

konforemność 1, 2, 44 — 52, 55, 87, 101, 228, 320,

kryterium, — równodługościowości 26, 28, — konforemności 47, — równo-powierzchniowości 53, 101, 323, — oceny dobroci odwzorowania 291,— Airy 297, — De 1'Isli 299, — Eulera 300,—Gaussa 302,—Czebyszewa 303, — Eisenlohra 305, — Jordana 298,— Krasowskiego 306, — Lagrange'a F, Biernacki, Teoria Odwzorowań

302, — Murdocha 300,—Ptolemeusza 299, — Tissota 296, — Webera 305, krzywe główne odwzorowania 73, 93,97, krzywizna 28, 33, 34, — geodezyjna 311, — normalna 311, — linij parametrowych 312, 315, — powierzchni 331, 332, — linii na powierzchni 310, — pierwsza 331, — druga 332, krzywoliniowe równanie różniczkowe siatki 14.

Linie, — parametrowe 152, — równo-długościowe 103, — parametrowe kierunkowe 152,—krzywiznowe 334,

loksodroma 165, 192.

Metryka 8, 33, 40, 42,

miary zniekształcenia 291,

Najkorzystniejsze odwzorowanie dla danego obszaru 269,

niezależność skali od kierunku 8, 87, 228, 320,

nierozwijalność na płaszczyznę, — kuli 60, 65, 344, — elipsoidy 65,

niezmiennik skali 83,

niezmienniki 8,—bezwzględne i względne 18, — różniczkowe Beltramiego 18,—odwzorowania równo długościowego 30,—gięcia powierzchni 33,— odwzorowania konforemnego 50, — odwzorowania równopowierzchnio-wego 54.

Odpowie dniość punktowa 1, — kon-foremna 1, — geodezyjna 1, 2, — sferyczna 1, 2, 41, — jedno-jedno-znaczna 4,

odwzorowanie, definicja 3, — regularne 7, 42, — bezpośrednie i pośrednie 23, 56, 210, — podwójne 23, 210, —rzutowe 24, 168, 340,—izometryczne 25, 31, 34, 43,—równodłu-gościowe 25, — wiernodługościowe 25, 45, — równoodlegiościowe 57,— równokątne 31, 43, 50, 51, — rów-nopowierzchniowe 31, 43, 52, 243,— sferyczne Gaussa 2, 41, 168, 331 i nast., — geodezyjne 1, 2, 43, 160, 168, 307, — nieizometryczne 34, 42, 43, — dowolne 43, 44, — płaskie prostoliniowe 43, 168,316,— stożkowe 43, — konforemne 44, 171, — ortomorficzne 44, — autogo-

24

nalne 44, — cząsteczkowo-podobne 44, — wiernokątne 44, — izogo-nalne 44, — płaskie kołowe 168, 325, — azymutalne 195, — quasi-stereograficzne Wojsk. Inst. Geogr, 232, — Ptolemeusza 262, — Bonne'a 263, — Stab-Wernera 263, — Sanson-Flamsteeda 264, — Lamberta 268,— Albersa 265, — Molłweidego 266,— Lagrange'a 213, 215, — Gaussa 213, 217, — najkorzystniejsze dla danego obszaru 269,

odwzorowanie konforemne 171,—ogólna teoria 171, — współrzędne izoroe-tryczne 172, 177, 180, 190, 197, 204, —skala 184,—skala pól 186,— płaskie walcowe 191, 205, 323, 330,— stożkowe 193, 201, 206, — kuli na płaszczyzną 197, — elipsoidy na płaszczyznę 207, — płaszczyzny na płaszczyznę 207, — powierzchni obrotowej na kulę 210,—Lagrange'a 213, 215, — Gaussa 213, 217, rozwiązania poszczególne 209, 240, — notatka historyczna 233,

odwzorowanie równopowierzchniowe 243, — ogólna teoria 243, — płaskie dla płaszczyzny i elipsoidy 248, — azymutalne, stożkowe, walcowe 249, — elipsoidy na kulę 253, — rozwiązania szczególne 256, 266, — notatka historyczna 261,

ortogonalność 48, 59, 85, 96,—siatki parametrowej 109,144,157,169,313,318,

ogólne prawo odwzorowawcze 146,

ortodroma 165.

Pierwsze twierdzenie Tissota 67, 87, 96,

podobieństwo 46,—cząsteczkowe 51,— skończone 52, 341, — odwrotne 177,

podstawowe zadania teorii odwzorowań 21, — pierwsze 21, 48, 53, — drugie 22, 49, 54, 167,

podziałka 77, 80, podstawa podziałki 80, krzywoliniowa podziałka złożona 81,

pokrewieństwo cząsteczkowe 146,

porównanie obrazu z oryginałem 8,

powierzchnie, — izometryczne 31, — rozwijalne 33, — o stałej krzy-wiżnie 308, — Liouville'a 309,

powinowactwo 342,

projekcje czyli rzuty 24,

przekształcenie, — parametrów 13, 15, 16, — liniowe 149, — przez ruch 341, — przez podobieństwo 341.

Redukcje odwzorowawcze 157, 160,

rozwijalność powierzchni 33,

równanie, — charakterystyczne Gaussa 29, — krzywoliniowe siatki 14, — różniczkowe Cauchy-Riemanna 222— różniczkowe Lap!ace*a 225, — różniczkowe odwzorowania konforem-nego elipsoidy na płaszczyznę 233,

równodługościowość 25, 28, 103,

równokątność 1, 2, 31, 44 — 52, 55, 87, 101, 228, 320,

równoodległościowość 57,

równopolowość 243,

równopowierzchniowość^l, 52,53,244,— cząsteczkowa 55, — skończona 55, kryterium 53, 101, 323, notatka historyczna 261,

rzutowość, — cząsteczkowa 11, 12, 338, 146, — lokalna 12, — integralna 12,

rzuty 24, 340.

Siatka, — parametrowa 13, 110, 142,— ortogonalna 48, — krzywych głównych 59, 73, 74, 75, 85, 87, 96, 110, 142, 347, — geograficzna 73, 87,

stała, — stożka 194, — skali 194,

styczne główne 75, 97,

szerokość, —- izometryczna 197, 204, — konforerana 216, — geocentryczna 216, — równopowier^chniowa 255,

średnie zniekształcenie obszaru 294.

Teoria odwzorowań 1, 21,

teoria zniekształceń 8, 12, 59, 354,

twierdzenie, — Riemanna 240,—Tissota 67, 87, 96, 146, 331, 332.

Wielkości podstawowe teorii powierzchni 17, wielkości P, O, R,P',Q',R' 88

wiernodługościowość 25, 45,

wiernokątność 44,

wiernopowierzchniowość 25, 45, 46,. 52, 53, 244,

wskażnica Tissota 147,

współzmienniki 13, 18.

Zadanie podstawowe teorii odwzorowań, — pierwsze 21, — drugie 146,

zaniedbanie spłaszczenia ziemi 337,

zmiana parametrów, 14, 15,

zniekształcenie, — liniowe 79, 156, — kątów 114, — kąta kierunkowego 114, 118, 141, 158, — maksymalne kąta 123,—kątowe jako funkcja kierunku 126,— poła 130,— skończone 157, 158, — metryczne jako funkcja skal i kierunków ekstremalnych 317.

Adams 217, 256 Aguillon 233 Airy 295, 296, 297, 298 Albers 264, 265, 266, 301 Apianus 262 Apolloniusz 156

Babinet 266

Baescblin 373

Beltrami 2, 18, 65, 283, 308

Benewitz 262

Bennett 65

Bianchi 260

Biernacki 80, 157, 232, 263

Bludau 374

Bond 201

Bonne 261, 262, 263, 299

Bonnet 25

Bour 25

Bourgeois 264

Boy 332

Breusing 44

Busse 310

Carathśodory 51

Cassini 163 262

Cauchy 181, 187, 222, 224, 225, 226, 227,

230, 231, 232 Cayley 44 Christoffel 312 Clarke 217, 256, 297, 298 Collignon 267 Commandino 233 Craig 65, 323, 327 Czebyszew 293, 303, 304

d'Anville 262 •d'Avezac 263

Darboux 2, 25, 238, 260, 308, 310, 373 De lisie 237, 262, 299, 300, 303 Dini 2, 308 Dirichlet 241

Driencourt 113, 163, 164, 217, 269, 274, 286, 373,

Eckert 373 Eisenlohr 305

Euler 65, 234, 236, 237, 238, 265, 266, 300, 301, 303, 304, 344

Fasching 291

Fiorini 52, 65, 297, 301, 373 Flamsteed 264 Furtwangler 264

Gauss 2, 25. 23, 33, 44, 164, 184, 195, 202, 206, 213, 217, 218, 219, 234, 235, 238, 239, 240, 282, 286, 287, 291, 302, 303, 310, 331, 334

Germain 44, 373

Grabowski 204, 217

Grawe 248, 267, 268, 304

Gregory 201, 234

Griison 238

Hammer 268 Hartl 266 Hausbrandt 375 Hayford 256 Herz 373 Hilbert 241, 332 Hinks 217, 373 Hipparch 203, 233 Hoimnder 260, 267

Jordan 295, 296, 298

Kawrajskij 303, 373 Kępiński 375 Klein 341 Kochmański 375 Kolanowski 373 Korkine 260, 267 Krasowskij 306 Kriiger 291

Laborde 113, 163, 164, 184, 217, 269,

274, 286, 373 Lagrange 2, 184, 188, 213, 214, 215, 216,

219, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 267,

302, 326, 330

Lambert 81, 194, 195, 202, 203, 204, 205, 234—237, 238, 264, 265, 266, 299, 330 Laplace 225, 226, 260, 262 Le Testu 262 Lie 308 Liouville 44, 282, 286, 309, 341

Łomnicki 65, 72, 80, 204, 217, 221, 256, 262, 270, 373

McCaw 330

Melluish 261, 286, 287, 374

Mercator 7, 81, 197, 200, 203, 205, 233,

234, 237, 262, 287, 299 Minding 25, 310

Mollweide 216, 219, 256, 264, 266 Mflbius 308, 342 Murdoch 300

Neumann 241 NordenskjOld 299

Olszewicz 263

Pawlowski 375

Ptolemeusz 233, 261, 299, 303

Riemann 181, 187, 222, 224, 225, 226,

227, 230, 231, 232, 240, 241 Romer 373

Sanson 261, 264 Scheffers 374 Schellhammer 267, 268 Schumacher 2, 239 Schwarz 241

Serret 238 Siebeck 44 Silvanus 262 Simon 192 Słomczyński 232 Sołowjew 303 Stabius 263 Szaflarski 270 Szpunar 375 Szumański 373

Tissot 13, 44, 59, 67, 72, 73, 87, 96, 97f 103, 144, 146, 147, 150, 153, 165, 170, 184, 257, 260, 261, 262, 267, 268, 269, 270, 275, 280, 281, 282, 287, 291, 296, 298, 301, 374

Urmajew 374 Voss 260

Wangerin 2, 65, 234, 236, 238, 239, 345

Warchałowski 375

Weber 305

Weierstrass 224, 241

Weingarten 25

Werner 261, 263

Witkowskij 301, 303, 374

Wright 200, 234

Young 286, 298, 330, 374

Zach 265, 266 Zoppritz 268, 374