"MATEMATYKA WYŻSZA", t.3, cz.2 (FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE. FUNKCJE SPECJALNE), W.I.SMIRNOW ; PWN; nakład : 3 000; stan : plus db ; przesyłka polecona : 10,50 zł.

SPIS TREŚCI:
Przedmowa
Rozdział I
PODSTAWY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ
1. Funkcje zmiennej zespolonej..................... 7
2. Pochodna............................. 12
3. Odwzorowanie konforemne........ . ,............ 18
4. Całka............................... 21
5. Twierdzenie Cauchy'ego....................... 23
6. Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego . ............ 26
7. Wzór Cauchy'ego.......................... 29
8. Całki typu Cauchy'ego . ,.................... . 35
9. Wnioski z wzoru Cauchy'ego....................... 37
10. Izolowane punkty osobliwe.................... . 39
11. Szeregi nieskończone liczb zespolonych.......:........ 41
12. Twierdzenie Weierstrassa...................... 44
13. Szeregi potęgowe.......................... 47
14. Szereg Taylora............................ 49
15. Szereg Laurenta.......................... 52
16. Przykłady . . .......................... . 55
17. Izolowane punkty osobliwe. Punkt w nieskończoności.......... 60
18. Przedłużenie analityczne....................... 64
19. Przykłady funkcji wieloznacznych.................. 71
20. Punkty osobliwe funkcji analitycznych i powierzchnie Riemanna .... 78
21. Twierdzenie o residuach....................... 82
22. Twierdzenia o ilości pierwiastków ................ • 85
23. Odwracanie szeregu potęgowego.................... 89
24. Zasada symetrii .......................... 92
25. Zachowanie się szeregu Taylora na okręgu koła zbieżności....... 96
26. Wartość główna całki........................ 98
27. Wartość główna całki (ciąg dalszy).................. 102
28. Całki typu Cauchy'ego....................... 107
Kozdział II
ODWZOROWANIE KONFOREMNE I POLE PŁASKIE
29. Odwzorowanie konforemne...................... 113
30. Odwzorowanie liniowe........................ 116
31. Odwzorowanie homograficzne .................... 117
32. Funkcja w = z2 . ........................... 127
33. Funkcja w = — z------I........................ 128
2 z I
34. Dwukąt i pas...................... 131
35. Twierdzenie podstawowe....................... 133
36. Wzór Christoffela........................... 136
37. Przypadki szczególne........................ 143
38. Odwzorowanie zewnętrza wielokąta.................. 146
39. Własność minimalna odwzorowania na koło.............. 149
40. Metoda sprzężonych szeregów trygonometrycznych........... 151
41. Płaski stacjonarny ruch cieczy.................... 158
42. Przykłady............................. 160
43. Zagadnienie całkowitego opływu . ,.................. 164
44. Wzór Żukowskiego......................... 165
45. Płaskie zagadnienie elektrostatyczne................. 167
46. Przykłady.............................. 170
47. Płaskie pole magnetyczne........................ 173
48. Wzór Schwarza.........................- 174
49. Jądro ctg-^- ........................... 176
2
50. Zagadnienia brzegowe........................ 180
51. Równanie biharmoniczne ..............,........ 184
52. Równanie falowe i funkcje analityczne................ 187
53. Twierdzenie podstawowe................ 189
54. Dyfrakcja fali płaskiej........................ 185
55. Odbicie fal sprężystych na prostoliniowym brzegu . . ......... 199
Rozdział III
ZASTOSOWANIE TEORII RESIDUÓW, FUNKCJE CAŁKOWITE I MEROiMORFICZNE
56. Całka Fresnela........................... 205
57. Całkowanie wyrażeń wymiernych od funkcji trygonometrycznych .... 206
58. Całkowanie funkcji wymiernej.................... 208
59. Niektóre nowe typy całek zawierających funkcje trygonometryczne ... 210
60. Lemat Jordana........................... 213
61. Przedstawienie niektórych funkcji za pomocą całek krzywoliniowych . . . 215
62. Przykłady całek funkcji wieloznacznych................ 218
63. Całkowanie układu równań liniowych o współczynnikach stałych .... 222
64. Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste............. 227
65. Funkcja ctgz............................ 231
66. Konstrukcja funkcji meromorfieznej................ 233
67. Funkcje całkowite ..................... 235
68. Iloczyny nieskończone........................ 237
69. Konstrukcja, funkcji całkowitej przy danych pierwiastkach....... 240,
70. Całki zależne od parametru..................... 243
71. Całka Eulera drugiego rodzaju..................... 246
72. Całka Eulera pierwszego rodzaju................... 251
73. Iloczyn nieskończony dla funkcji [-F(~)]~*................ 252
74. Przedstawienie funkcji F(z) za pomocą całki krzywoliniowej...... 257
75. Wzór Stirlinga....................... 260
76. Wzór sumacyjny Eulera.....'.................. 265
77. Liczby Bernoulliego ...........•............. 268
78. Metoda największego spadku..................... 269
79. Wydzielenie głównej części całki . ............... 271
80. Przykłady............................. 277
Eozdział IV
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH I FUNKCJE MACIERZY
81. Funkcje regularne wielu zmiennych .................. 287
82. Całka podwójna i wzór Cauchy'ego.................. 287
83. Szeregi potęgowe...................'....... 290
84. Przedłużenie analityczne....................... 296
85. Funkcje macierzy. Pojęcia wstępne................... 297
86. Szeregi potęgowe jednej macierzy................... 298
87. Mnożenie szeregów potęgowych.................... 301 .
88. Dalsze badanie zbieżności...................... 305
89. Wielomiany interpolacyjne...................... 309
90. Tożsamość Cayley i wzór Sylvestera................. 311
91. Przedłużenie analityczne funkcji macierzy............... 313
92. Przykłady funkcji wieloznacznych.................. 315
93. Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach ... 319
94. Funkcje wielu macierzy....................... 323
Eozdział V -
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE
95. Bozwinięcie rozwiązania w szereg potęgowy.............. 327
96. Analityczne przedłużenie rozwiązania................. 331
97. Otoczenie punktu osobliwego......................333
98. Punkt osobliwy regularny...................... 338
99. Eównania Fuchsa.......................... 345
100. Eównanie G-aussa.......................... 348
101. Szereg hipergeometryczny...................... 350
102. Wielomiany Legendre'a....................... 356
103. Wielomiany Jacobiego........................ 362
104. Odwzorowanie konforemne a równanie Gaussa.............. 366
105. Punkty osobliwe nieregularne.................... 371
106. Eozwinięcia asymptotyczne..................... 374
107. Przekształcenie Laplace'a...................... 377
108. Eóżnorodny wybór rozwiązań.................... 379
109. Przedstawienie asymptotyczne rozwiązań............... 383
110. Porównanie otrzymanych wyników.................. 388
111. Eównanie Bessela.......................... 390
112. Funkcje Hankela.......................... 394
113. Funkcje Bessela.......................... 397
114. Przekształcenie Laplace'a w przypadkach ogólniejszych......... 399
115. Uogólnione wielomiany Laguerre'a . .................. 400
116. Dodatnie wartości parametru.................... 404
117. Z degenerowane równania Gaussa................... 406
119. Przypadek współczynników analitycznych................ 414
120. Układy liniowych równań różniczkowych............... 415
121. Regularny punkt osobliwy układu równań .............. 418
122. Układy regularne.......................... 421
123. Przedstawienie rozwiązania w otoczeniu punktu osobliwego....... 426
124. Rozwiązania kanoniczne....................... 429
125. Związek z rozwiązaniami regularnymi typu Fuchsa .......... 432
126. Przypadek dowolnych macierzy Us.................. 433
127. Rozwinięcie rozwiązania w pobliżu nieregularnego punktu osobliwego . . 436
128. Rozwinięcia w szeregi jednostajnie zbieżne.............. 443
Rozdział VI
FUNKCJE SPECJALNE
1. Funkcje kuliste i funkcje Łegendre'a
129. Definicja funkcji kulistych...................... 449
130. Wyrażenie funkcji kulistych, za pomocą wielomianów Legendre'a .... 451
131. Ortogonalność funkcji sferycznych.................. 455
132. Wielomiany Legendre'a....................... 459
133. Rozwijanie w szereg funkcji sferycznych.......'........ 464
134. Dowód zbieżności.......................... 467
135. Związek funkcji sferycznych z zagadnieniami brzegowymi........ 469
136. Zagadnienia Dirichleta i Neumanna . ................... 471
137. Potencjał objętościowy ....'.-.................. 474
138. Potencjał warstwy pojedynczej.................., . . . 475
139. Elektron w polu siły centralnej................... 478
140. Funkcje kuliste i liniowe reprezentacje grupy obrotów . . ....... 481
141. Funkcja Legendre'a......................... 482
142. Funkcja Legendre'a drugiego rodzaju................. 484
| 2. Funkcje Bessela
143. Określenie funkcji Bessela...................... 489
144. Związki pomiędzy funkcjami Bessela................. 491
145. Ortogonalność funkcji Bessela oraz ich pierwiastki........... 494
146. Funkcja tworząca i wyrażenie całkowe dla funkcji Bessela....... 499
147. Wzór Fouriera-Bessela........................ 502
148. Funkcje Hankela i Neumanna.................... 504
149. Rozwinięcie funkcji Neumanna o wskaźniku całkowitym ........ 509
150. Przypadek argumentu urojonego................... 511
151. Przedstawienia całkowe....................... 513
152. Przedstawienia asymptotyczne funkcji Hankela........'. . . . 514
153. Funkcje Bessela a równanie Laplace'a................ 523
154. Równanie falowe we współrzędnych walcowych............ 525
155. Równanie falowe we współrzędnych kulistych............. 528
5 3. Wielomiany Hermite'a i Laguerre'a
156. Oscylator liniowy i wielomiany Hermite'a............... 531
157. Ortogonalność funkcji Hermite'a.................... 535
158. Funkcja tworząca......................... 536
159. Współrzędne paraboliczne i funkcje Hermite'a............. 538
160. Wielomiany Laguerre'a....................... 540
161. Związek pomiędzy wielomianami Hermite'a i Laguerre'a........ 543
162. Przedstawienie asymptotyezne -wielomianów Hermite'a......... 544
163. Wyrażenia asymptotyczne dla wielomianów Legendre'a......... 547
§ 4. Caiki eliptyczne i funkcje eliptyczne
164. Sprowadzanie całek eliptycznych do postaci normalnej......... 550
165. Sprowadzanie całek eliptycznych do postaci trygonometrycznej..... 554
166. Przykłady............................. 557
167. Odwracanie całki eliptycznej..................... 560
168. Ogólne własności funkcji eliptycznych ................ 563
169. Lemat podstawowy................. ....... 567
170. Funkcje Weierstrassa......................... 569
171. Równanie różniczkowe dla p{u)................... 573
172. Funkcje ovt(w)........................... 576
173. Rozwinięcie całkowitej funkcji okresowej............... 579
174. Nowe oznaczenia.......................... 580
175. Funkcja #j(*>)........................... 582
176. Funkcje $k{v) ............................ 585
177. Własności funkcji teta ....................... 588
178. Wyrażenie liczb ek przez &s..................... 590
179. Funkcje eliptyczne Jacobiego.................... 592
180. Podstawowe własności funkcji Jacobiego............... 594
181. Równania różniczkowe dla funkcji Jacobiego............. 596
182. Twierdzenia o dodawaniu dla funkcji eliptycznych........... 597
183. Związek pomiędzy funkcjami p{n) oraz snw............. 599
184. Współrzędne eliptyczne....................... 601
185. Wprowadzenie funkcji eliptycznych.................. 603
186. Równanie Lamego......................... 604
187. Wahadło matematyczne....................... 606
188. Przykład odwzorowania konforemnego................ 608
Uzupełnienie
SPROWADZANIE MACIERZY DO POSTACI KANONICZNEJ
189. Uwagi wstępne........................... 611
190. Przypadek pierwiastków jednokrotnych ....'............ 616
191. Pierwszy etap przekształceń w przypadku pierwiastków wielokrotnych . . 618
192. Sprowadzenie do postaci kanonicznej................. 622
193. Określenie struktury postaci kanonicznej............... 627
194. Przykład.............................. 631
Skorowidz.................................. 636