RACHUNEK WARIACYJNY

I.M. Gelfand

S.W. Fomin

Wydawnictwo: PWN, 1970
Oprawa: miękka
Stron: 268
Stan: bardzo dobry, nieaktualna pieczątka

Książka w przystępnej, lecz z uwzględnieniem współczesnych wymagań, formie daje wykład podstaw rachunku wariacyjnego. Ponadto dużo uwagi poświęcono w książce zastosowaniom metod wariacyjnych — równaniom kanonicznym, wariacyjnym zasadom mechaniki, prawom zachowania itd. Czytelnik, pragnący zapoznać się tylko z podstawowymi pojęciami i metodami rachunku wariacyjnego, może ograniczyć się do opanowania jedynie pierwszego rozdziału. Trzy pierwsze rozdziały książki stanowią razem nieco szerszy, ale jednak jeszcze dość elementarny kurs rachunku wariacyjnego (w ramach tylko koniecznych warunków istnienia ekstremum). Rozdziały I - IV tworzą ze względu na zakres mniej więcej zwyczajny uniwersytecki kurs rachunku wariacyjnego (z pewnymi zastosowaniami do mechaniki układów o skończonej liczbie stopni swobody), zawierający teorię pola (w nieco innym ujęciu od zwyczajnego) oraz warunki dostateczne istnienia ekstremum słabego i silnego. Siódmy rozdział książki jest poświęcony zastosowaniu metod wariacyjnych do badania układów o nieskończonej liczbie stopni swobody. W rozdziale ósmym są krótko wyłożone bezpośrednie metody rachunku wariacyjnego.

SPIS TREŚCI:

Z przedmowy autorów

Rozdział I. Funkcjonały. Najprostsze zadanie rachunku wariacyjnego  .
§ l. Wstęp
§ 2. Przestrzenie funkcyjne
§ 3. Różniczka funkcjonału. Warunki konieczne istnienia ekstremum .
§ 4. Najprostsze zadanie rachunku wariacyjnego. Równanie Ęulera
§ 5. Przypadek wielu zmiennych?" Zadanie z końcami swobodnymi
§ 6. Pochodna wariacyjna. Niezmienniczość równania Ęulera

Rozdział II. Niektóre uogólnienia naprostszego zadania. Ekstremum warunkowe
§ 7. Zadanie z końcami umocowanymi w przypadku n niewiadomych
funkcji
§ 8. Zadania wariacyjne w postaci parametrycznej
§ 9. Funkcjonały zależne od pochodnych wyższych rzędów
§ 10. Zadanie izoperymetryczne. Ekstremum warunkowe

Rozdział III. Wzór podstawowy dla wariacji funkcjonału. Zadanie z końcami ruchomymi
§ 11. Wzór podstawowy dla wariacji funkcjonału
§ 12. Zadanie z końcami ruchomymi
§ 13. Przypadek ekstremal niegładkich. Warunki Weierstrassa-Erdmanna

Rozdział IV. Postać kanoniczna równań Ęulera. Zasady wariacyjne. Prawa
zachowania. Równanie Hamiltona-Jacobiego
§ 14. Postać kanoniczna równań Eulera. Całki pierwsze
§ 15. Przekształcenie Legendre'a. Przekształcenie kanoniczne
§ 16. Związek między niezmienniczością całki J Fdx i całkami pierwszymi równań Eulera (twierdzenie Noether)
§ 17. Zasada najmniejszego działania
§ 18. Prawa zachowania
§ 19. Równanie Hamiltona-Iacobiego. Twierdzenie Jacobiego

Rozdział V. Druga wariacja. Warunki dostateczne istnienia ekstremum słabego
§ 20. Funkcjonały kwadratowe. Druga wariacja funkcjonału
§ 21. Wzór dla drugiej wariacji. Warunki Legendre'a
§ 22. Badanie funkcjonału kwadratowego J (Phz + Qh'2)dx  
§ 23. Punkty sprzężone. Warunek konieczny Jacobiego
§ 24. Warunki dostateczne istnienia ekstremum słabego
§ 25. Warunki Jacobiego dla funkcjonałów ależnych od wielu funkcji
§ 26. Związek warunków Jacobiego z teorią form kwadratowych w przestrzeni o skończonej liczbie wymiarów

Rozdział VI. Teoria pola. Warunki dostateczne istnienia ekstremum silnego
§ 27. Zgodne warunki graniczne. Ogólne określenie pola
§ 28. Pole funkcjonału
§ 29. Całka niezmiennicza Hilberta
§ 30. Funkcja Weierstrassa. Warunki dostateczne istnienia ekstremum
silnego

Rozdział VII. Zadania wariacyjne o pochodnych cząstkowych
§ 31. Podstawowy wzór dla wariacji funkcjonału w przypadku ustalonego obszaru
§ 32. Wariacyjne wyprowadzenie równań drgań struny, membrany i płyty
§ 33. Podstawowy wzór dla wariacji w przypadku obszaru zmiennego. Twierdzenie Noether
§ 34. Zasada działania stacjonarnego dla pól. Prawa zachowania
§ 35. Przykłady: równanie Kleina-Gordona i równania Maxwella 

Rozdział VIII. Bezpośrednie metody rachunku wariacyjnego. Metody wariacyjne w zadaniu Sturma-LiouvUle'a
§ 36. Pojęcie o bezpośrednich metodach rachunku wariacyjnego 
§ 37. Metoda Ritza i metoda łamanych
§ 38. Funkcje własne i wartości własne zadania brzegowego Sturma-Liouville'a

Dodatek I. Rozprzestrzenianie się zaburzenia i równania kanoniczne 
Dodatek II. Metody wariacyjne w zadaniach o optymalnej regulacji
Skorowidz