RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

A.A. Borowkow

Wydawnictwo: PWN, 1975
Oprawa: twarda płócienna z obwolutą
Stron: 226
Stan: bardzo dobry, nieaktualna pieczątka

Podstawą tej książki są wykłady, które autor prowadził przez szereg lat na trzecim roku wydziału matematyki Nowosybirskiego Uniwersytetu Państwowego. Zakłada się, że czytelnik oprócz tradycyjnego kursu analizy matematycznej zna elementy teorii miary, a w szczególności pojęcie całki względem miary w przestrzeni abstrakcyjnej i jej podstawowe własności. Jednakże brak tych dodatkowych wiadomości nie przeszkodzi w zrozumieniu książki, jeżeli czytelnik gotów jest przyjąć niektóre stwierdzenia nie w ich maksymalnie ogólnej postaci.

Istnieje także inna możliwość. Czytelnik przezwycięży wszystkie trudności w zrozumieniu książki, jeżeli równolegle z czytaniem odpowiednich rozdziałów będzie zaznajamiał się z zamieszczonymi na końcu książki krótkimi dodatkami, w których zawarte są niezbędne uzupełniające wiadomości.

Do dodatków przeniesiono także niektóre inne zagadnienia, dotyczące podstaw rachunku prawdopodobieństwa, co pomogło autorowi posunąć się dalej w wyłożeniu w podstawowym tekście książki właściwych wyników i metod probabilistycznych.Pierwszych osiem rozdziałów książki stanowi spójną całość i wskazane jest czytać je po kolei. W rozdziałach 9 - 12 prowadzone są dalsze studia probabilistyczne, przy czym idą one w trzech różnych kierunkach (rozdział 9 poświęcony jest tożsamościom faktoryzacyjnym, rozdziały 10 i 11 — łańcuchom Markowa i teorii informacji, rozdział 12 — prostym procesom stochastycznym); z każdym z tych działów można się zapoznać nie-niezależnie od pozostałych. W różnych latach autor stosował na swoich wykładach różne podane wyżej warianty kontynuacji studiów probabilistycznych i nie widzi podstaw, aby z metodycznego czy poznawczego punktu widzenia dawać pierwszeństwo któremukolwiek z tych trzech wariantów.

W toku wykładu przerobiono w tej książce znaczną ilość zadań i przykładów, nie zastąpi to jednak samodzielnego rozwiązywania zadań.


Spis treści:

Wstęp

Rozdział I
Dyskretna przestrzeń zdarzeń elementarnych
§ 1. Przestrzeń probabilistyczna
§ 2. Schemat klasyczny
§ 3. Schemat Bernoulliego
§ 4. Prawdopodobieństwo alternatywy zdarzeń. Przykłady

Rozdział 2.
Dowolna przestrzeń zdarzeń elementarnych
§ 1. Aksjomaty rachunku prawdopodobieństwa. Przestrzeń probabilistyczna
§ 2 Własności prawdopodobieństwa
§ 3. Prawdopodobieństwo warunkowe
Niezależność zdarzeń i doświadczeń
§ 4. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa

Rozdział 3.
Zmienne losowe i dystrybuanty
§ 1. Określenia i przykłady
§ 2. Własności dystrybuanty i przykłady
§ 3. Całki
§ 4. Wielowymiarowe zmienne losowe
§ 5. Niezależność zmiennych losowych i klas zdarzeń

Rozdział 4.
Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych
§ 1. Wartość oczekiwana
§ 2. Dystrybuanty warunkowe i warunkowe wartości oczekiwane
§ 3. Wartość oczekiwana iloczynu zmiennych losowych
§ 4. Wartość oczekiwana zmiennych losowych niezależnych od przyszłości
§ 5. Wariancja
§ 6. Współczynnik korelacji i inne charakterystyki liczbowe
§ 7. Nierówność Czebyszewa
§ 8. Uogólnienie pojęcia warunkowej wartości oczekiwanej

Rozdział 5.
Ciąg doświadczeń niezależnych o dwóch możliwych wynikach
§ 1. Prawo wielkich liczb
§ 2. O zbieżności zmiennych losowych
§ 3. Lokalne twierdzenie graniczne
§ 4. Twierdzenie Moivre'a - Laplacc'a i jego udoskonalenia
§ 5. Twierdzenie Poissona i jego udoskonalenia

Rozdział 6.
Funkcje charakterystyczne
§ 1. Określenie i własności funkcji charakterystycznych
§ 2. Wzór na odwrócenie. Własność stabilności
§ 3. Twierdzenie o ciągłości. Twierdzenie Poissona dla składników o różnym rozkładzie
§ 4. Funkcje tworzące
§ 5. Funkcja tworząca procesu gałązkowego. Zagadnienie degeneracji
§ 6. Funkcje charakterystyczne rozkładów wielowymiarowych. Wielowymiarowy rozkład normalny
§ 7. Rozkład gamma

Rozdział 7.
Ciągi niezależnych zmiennych losowych. Twierdzenia graniczne
§ 1. Prawo wielkich liczb
§2. Centralne twierdzenie graniczne dla zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie
§ 3. Centralne twierdzenie graniczne dla dowolnych ciągów niezależnych zmiennych losowych
§ 4. Zbieżność do innych rozkładów stabilnych

Rozdział 8.
Ciągi niezależnych zmiennych losowych. Własności trajektorii (0, S1, S2, …)
§ 1. Prawa zera i jedności. Funkcje górne i dolne.
§ 2. Nierówność Kołmogorowa
§ 3. Kryterium Kołmogorowa zbieżności prawie wszędzie (mocne prawo wielkich liczb dla dowolnych składników)
§ 4. Mocne prawo wielkich liczb

Rozdział 9.
Tożsamości faktoryzacyjne
§ 1. Tożsamości faktoryzacyjne i ich najprostsze konsekwencje
§ 2. Tożsamości faktoryzacyjne. Własności trajektorii (O, S1 S2, ...)
§ 3. Rozkład zmiennej losowej S=max (O, C)
§ 4. Systemy obsługi
§ 5. Tożsamości faktoryzacyjne dla rozkładów związanych z funkcją wykładnicza
§ 6. Symetryczne zmienne losowe o rozkładzie ciągłym
§ 7. Tożsamość Pollaczka-Spitzera
§ 8. Jawne wzory dla błądzenia dyskretnego ciągłego z góry

Rozdział 10.
Ciągi doświadczeń zależnych. Dyskretne łańcuchy Markowa
§ 1. Określenia i przykłady. Klasyfikacja stanów
§ 2. Warunki konieczne i dostateczne powracalności stanów. Twierdzenie o typie stanów łańcucha nieprzywiedlnego. Struktura łańcucha w przypadku okresowym.
§ 3. Twierdzenia o błądzeniu przypadkowym po kracie
§ 4. Twierdzenia ergodyczne
§ 5. Zachowanie się prawdopodobieństw przejścia dla łańcuchów przywiedlnych
§ 6. Rozkład graniczny dla liczby wpadnięć do stanu powracającego. Parametry rozkładu granicznego w przypadku łańcucha skończonego

Rozdział 11.
Informacja i entropia
§ 1. Określenia i własności informacji i entropii
§ 2. Entropia skończonego łańcucha Markowa

Rozdział 12.
Prostsze procesy stochastyczne
§ 1. Określenia ogólne. Procesy o przyrostach niezależnych
§ 2. Procesy Wienera; własności ich trajektorii
§ 3. Lokalne prawo sterowanego logarytmu.
§ 4. Proces Poissona; własności jego trajektorii
Dodatek 1 .Twierdzenie o rozszerzaniu miary probabilistycznej
Dodatek 2. Twierdzenie Kołmogorowa o rozkładach zgodnych
Dodatek 3. Całkowanie
Dodatek 4. Twierdzenie o ciągłości dla funkcji charakterystycznych

Skorowidz nazw