SPIS RZECZY
Przedmowa ................................. 5
Cząść I. ALGEBRA OPERATORÓW
Rozdział I. Rachunek operatorów
§ 1. Przestrzenie liniowe. Operacje liniowe.................... 8
1.1. Przestrzenie liniowe.......................... 8
1.2. Przykłady przestrzeni liniowych..................... 9
1.3. Operacje liniowe........................... 10
1.4. Odwracanie operacji liniowych..................... 14
1.5. Izomorfizm przestrzeni liniowych (modutów)............... 15
1.6. Zależność i niezależność operatorowa.................. 16
Zadania................................. 18
§ 2. Rachunek operatorów........................... 21
2.1. Pochodna, pierwotna, warunek graniczny................ 21
2.2. Aksjomaty rachunku operatorów.................... 22
2.3. Rzut a warunek graniczny....................... 24
2.4. Pochodne równoważne ........................ 26
2.5. Pochodne wyższych rzędów...................... 31
2.6. Wzór Taylora............................ 32
2.7. Równania różniczkowe rzędu n..................... 33
2.8. Układy równań różniczkowych rzędu pierwszego............. 34
Zadania................................. 35
§ 3. Przykłady stosowania pochodnych abstrakcyjnych.............. 37
3.1. Równania różniczkowe........................ 37
3.2. Równania różnicowe......................... 38
3.3. Inna postać równań różnicowych.................... 39
3.4. Funkcja tworząca........................... 39
3.5. Przekształcenie Laurenta........................ 40
3.6. Liniowe równanie różniczkowe rzędu pierwszego............. **1
3.7. Zredukowana postać równania różniczkowego liniowego rzędu drugiego . . 42
3.8. Postać samosprzężona dla równania różniczkowego liniowego rzędu drugiego 43
3.9. Sprowadzanie formy dwuliniowej i formy kwadratowej do postaci równoważnych ................................. ^
3.10. Postać kanoniczna dla liniowego równania cząstkowego rzędu drugiego ...
3.11. Postać kanoniczna dla liniowego równania cząstkowego rzędu drugiego o stałych współczynnikach.........................
3.12. Warunki Szmydtówny dla równania różniczkowego cząstkowego typu hiper-bolicznego.............................'
3.13. Warunki Cauchy'ego dla równania struny drgającej............
3.14. Podstawowy wzór całkowy dla pochodnej eliptycznej...........
286
Spis rzeczy
3.15 Dalsze przykłady wzorów przybliżonych................. 57
3.16 Wzór interpolacyjny Newtona ..................... 59
Zadania.................................. 60
Rozdział II. Operatory
§ 4. Wyniki, operatory ............................ 63
4.1. Wyniki ............................... 63
4.2. Operatory. Operator Heaviside'a.................... 69
Zadania................................. 77
§ 5. Funkcje wykładnicze. Wielomiany wykładnicze................ 82
5.1. Funkcje wykładnicze......................... 82
5.2. Zespolone funkcje wykładnicze..................... 88
5.3. Transformaty Laplace'a-Carsona dla wielomianów wykładniczych..... 91
5.4. Twierdzenia Heaviside'a o funkcjach wymiernych operatora p........ 94
5.5. Splot................................ 98
5.6. Podstawowe układy automatyczne................... 99
5.7. Przykłady.............................. 103
Zadania................................. 106
Rozdział TU. Abstrakcyjne równania różniczkowe Kniowe zwyczajne
§ 6. Równanie liniowe o starych współczynnikach liczbowych........... 109
6.1. Całkowanie równania różniczkowego liniowego zwyczajnego rzędu n o współczynnikach stałych.......................... iO9
6.2. Całkowanie układu normalnego równań różniczkowych liniowych zwyczajnych rzędu pierwszego o stałych współczynnikach............... 111
6.3. Całkowanie układu normalnego równań różniczkowych liniowych zwyczajnych rzędu pierwszego o współczynnikach starych w postaci macierzowej..... 1! 3
6.4. Układy równań różniczkowych liniowych zwyczajnych o współczynnikach liczbowych........"...................... 114
6.5. Przykłady.............................. 115
Zadania................................. 127
5 . Równania różniczkowe liniowe, któr>eh współczyimikanii są endomoifcmy przemienne z pochodną i pierwotną...................... 129
7aHania .... 135
Cassc IL ANALIZA OPERATORÓW
Rufciał TV. Prastnaik liniowe z
1*7 171
Rozdział V. Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych metodami analitycznymi
§ 9. RówDania różniczkowe liniowe. Uwagi ogólne ....
Zadani........................'. '. '. '. '. ] \ \ \ \
§ 10. Liniowe równania różniczkowo-różnicowe o współczynnikach stałych
Z"*;;;; ■
§ II. Abstrakcyjne równania różniczkowo-całkowe o stałych współczynnikach 200
§ 12. Równania splotowe........................... im
Zadania .........................
§ 13. Pewne równania o zmiennych współczynnikach..........
Zadania
S 14. Równania różniczkowe liniowe
........... 203
........... 203
........... 209
........... 210
Zadania................................. 217
§ 15. Metoda separacji zmiennych ....................... 218
Zadania................................. 224
§ 16. Informacje o zagadnieniu poprawnie postawionym dla badania równań nieliniowych .................................. 226
16.1. Wstęp............................... 226
16.2. Poprawne stawianie zagadnienia rozwiązania abstrakcyjnego równania różniczkowego........................... 227
Rozdział VI. Całkowanie po warunkach granicznych
§ 17. Całki oznaczone jednowymiarowe..................... 233
17.1. Podstawowe aksjomaty........................ 233
17.2. Łuki w zbiorze Q wskaźników. Naturalny opis łuku.......... 233
17.3. Granica po luku dla funkcji. Funkcje łukowo ciągłe.......... 235
17.4. Gradient i różniczka........................ 235
17.5. Całka oznaczona funkcji ograniczonej na łuku ab........... 236
17.6. Interpretacja fizyczna całki oznaczonej................ 237
17.7. Twierdzenie o istnieniu całki oznaczonej ............... 239
17.8. Własności całki oznaczonej ..................... 241
17.9. Całka oznaczona jako addytywna funkcja luku............ 244
§ 18. Całki oznaczone m-wymiarowe po obszarach m-wymiarowych......... 246
18.1. Podstawowe aksjomaty....................... 246
18.2. Figury elementarne i obszary w zbiorze Qm wskaźników........ 246
18.3. Miara Lebesgue'a płata....................... 247
18.4. Caika oznaczona funkcji ograniczonej ciągłej w obszarze........ 250
18.5. Formy różniczkowe. Różniczki form. Wzór Stokesa.......... 251
Rozwiązania zadań............................... 254
Bibliografia.................................. 27S
Wykaz symboli................................ 281
Skorowidz nazw................................ 282
