TREŚĆ Z TYLNEJ OKŁADKI:


Niniejsza książka zawiera nowoczesny zwięzły niemniej jasny i przystępny wykład podstawowych wiadomości logiki matematycznej. Książka jest napisana przede wszystkim z myślą o matematykach, lecz pędzie przydatna również dla wszystkich interesujących się
logiką.
Autor książki, Roger C. Lyndon, znany amerykański algebraik i logik, jest profesorem na uniwersytecie w Michigan.




Z PRZEDMOWY AUTORA



Książka ta została opracowana na podstawie wykładu dla studentów różnych lat matematyki i pokrewnych wydziałów prowadzonego przez autora na University of Michigan w zimowych semestrach 1962 i 1963 roku. Starano się używać symboliki tak prostej, jak tylko pozwala na to ścisłość, nadając wywodom nieco ducha algebry abstrakcyjnej. Tematyka — jak można się przekonać na podstawie spisu treści — jest na ogół dobrze znana, w związku z tym bibliografia będzie cytowana jedynie w sporadycznych przypadkach.



§ 1. Wstęp




Mówi się często, że logika zajmuje się prawami myślenia. Nie rozumiemy przez to historycznych czy też psychologicznych zasad rządzących procesem myślenia, lecz raczej te jego formalne i strukturalne własności, które wydają się odzwierciedlać własności świata realnego. Nie będziemy więc zagłębiać się w rozważania, czy istnieje związek między myśleniem i rzeczywistością, lecz przejdziemy wprost do badania możliwej formalnej natury takiego związku i jego konsekwencji.
Oto podstawowy przykład: Załóżmy, że ze zdania p za pomocą zwyczajnego rozumowania wynika zdanie q. Jeśli wiemy, że zdanie p jest prawdziwe, to wnioskujemy, że zdanie q także jest prawdziwe. Poza zwykłą, praktyczną korzyścią płynącą ze zdawania sobie sprawy z relacji: „p pociąga za sobą q" pozostaje nam jeszcze możliwość użycia jej w celu uporządkowania naszej wiedzy i sądów tak, aby uzyskać pewne zrozumienie rzeczywistości.
Głównym naszym zagadnieniem będzie próba porównania rzeczywistej, czyli semantycznej • iacji implikacji p |= q, która zachodzi wtedy, gdy prawdziwość p pociąga za sobą prawdziwość q, z czysto formalną, czyli syntakiyczną relacją implikacji p \— q, która zachodzi, jeśli q można wyprowadzić z p za pomocą pewnych ustalonych reguł. Wykład ścisłego rozumowania może polegać po prostu na podaniu tych reguł, a następnie na wskazaniu rozmaitych sposobów posługiwania się nimi pozostawiając krytykę ich ścisłości oraz użyteczności zdrowemu rozsądkowi czytelnika. Stanowisko nasze jest prawie całkiem przeciwstawne. Jesteśmy bardzo zainteresowani w uzasadnieniu tych reguł oraz ich zasięgu. Jednakże w miarę możliwości będziemy próbowali usunąć związane z nimi szczegóły techniczne, bardziej bowiem interesuje nas stosunek pojęć semantycznych i syntaktycznych.
Formalne badanie jakiegokolwiek rzeczywistego przedmiotu
rozpoczyna się. od znalezienia odpowiedniej abstrakcyjnej, wyidealizowanej charakteryzacji wybranej tak, by zachowała te cechy oryginalnego przedmiotu, które są istotne dla tego zadania. Potrzebujemy więc abstrakcyjnych pojęć, które zastąpią nam myślenie, rzeczywistość oraz związek pomiędzy nimi. Zamiast myślenia będziemy rozważać język bądź, ściślej mówiąc, sformalizowaną wersję części języka codziennego. Można usprawiedliwiać to tym, że wszystkie czysto formalne aspekty myślenia mają swoje odpowiedniki w takim języku. Zamiast rzeczywistości będziemy rozważać obiekt zwany strukturą. Jest to pojęcie szersze niż rodzina przedmiotów, które mogą być rozważane jako znaczenia różnych wyrażeń języka. Zamiast związku pomiędzy myśleniem a rzeczywistością będziemy rozważać interpretację. Jest to mianowicie funkcja przyporządkowująca pewnym wyrażeniom języka przedmioty ze struktury jako ich znaczenia przy interpretacji.
Zasadniczo będziemy rozważać tylko jeden język L pominąwszy różnice w szczegółach. To co może być wyrażone w pewnym odpowiednim języku może być przypuszczalnie wyrażone i w innym. Będziemy rozważać rozmaite interpretacje języka L w różnych strukturach S, ponieważ nie wiemy, w którym spośród możliwych światów albo struktur znajdujemy się aktualnie, tym bardziej, że jako laików, a nie naukowców związanych z eksperymentem, wcale nas to nie interesuje. Logika zajmuje się bowiem przypuszczalnie jedynie uniwersalnymi zasadami prawdziwymi we wszystkich możliwych światach.



SKOROWIDZ TERMINÓW



Aksjomat 9, 45, 75, 78, 80 algebra abstrakcyjna 17
— Boole'a 36
— — wolna z bazą 36
— cylindryczna 39
— formuł 29
— ilorazowa 30
— Lindenbauma 31
— podzbiorów zbioru 37 -^ polyadyczna 39
— termów 17
— wartości logicznych 29
— wolna z ^ftgą ii
— wszystkich podzbiorów zbioru 37
— zdań 31 algebry podobne 17 algorytm 98 arytmetyka 44
atojiy 39
t.
Baza 14 ' \ Boole'a algebra-, 36
— — wolną i. bazą 36
¦¦'A-
Godła twierdzenie o zupełności (twierdzenie o pełności) 52
— numery 94 gramatyka 9
Homomorfizm 14, 17
Herbranda-Gentzena- twierdzenie 85
\,
Implikacja materialna 4i
— semantyczna 7
— syntsfct}(v.na 7 , ' — ścisła *4I
— wlaściwH 68 interpretacja^, 1 intuicjonizm jądro 29
język 8, 9
— przed mioto
— rachunku zoa
Craiga lemat 88 • t Churcha twierdzenie
100
Definicja indukcyjna 95
dowód 45, 54, 76
dysjunktywna postać normalna 32
— — — zupełna 34 dziedzina 17
Element pierwszy (nierozkładalny) 13
Formuła 18
— atomowa 18
— prawdziwa (tautologia) 26
— prosta 80
— w postaci normalnej 84 fł i ó
\ Kongruencja -30 klasa symboli funk
— — relacyjnych 14
— zmiennych 14 kwanty fika tor ogólny .— ograniczony 99
— szczegółowy 14
Lemat Craiga 88
— Zorna 61
liczba argumentów 14 Lindenbauma algebra 31 logika intuicjonistyczna 42
— modalna 41

'Metajęzyk 9
metaraatematyka J0
metateoria 9
metoda eliminacji kwanty fika torów 4<
formuły semantycznie równoważne 62 model 26
modele elementamie równoważne 73 teoria 9
— grup abelowych 51 Numery Gódla 94 — identyczności 49
— kategoryczna 73 Paradoks kfamcy 92 — liczb rzeczywistych 51
— Russela 92 — przedmiotowa 9 podzbiór domknięty 66 — zupełna 45 podział 29 — <«-niesprzeczna 101 półgrupa 12 term i5
— wolna 14 twierdzenie 45, 54, 76
— z jednością 13 — Churcha 100
prawo łączności 12 — Gódla o zupełności (twierdzenie
— wyłączonego środka 42 o pełności) 52 przestrzeń topologiczna 67 — Herbranda-Gentzena 85
— zwarta 67 — o homomorfiźtnie 91 przekształcenie kanoniczne 30 — — niesprzeczności 60
— — niezupemości 97, 102 Rachunek predykatów 44, 52 — — pełności 66, 84, 52
— zdań 43 — — — dla rachunku predykatów reguła generalizacji 53 z identycznością 69
— modus ponens 53 — — zwartości 66
reguły wnioskowania 53, 75 — Skoietna-Lówenheima 70
relacja implikacji semantycznej 7, 25 — Stone'a 39
— — syntaktycznej 7 — Tarskiego 97
— równoważności 29
rozumowanie przekątniowe 91 Uporządkowanie liniowe gęste 46 Russela paradoks 92
Warstwa 29
Sekwencja 75, 80 wartości logiczne 20
— prosta 80 własność rozstrzygaina 99 spójnik 14 — wyrażalna 96 Skolema-LSwenheima twierdzenie 70 wnioskowanie 53, 76 Stone'a twierdzenie 39 wyrażenie 12 struktura 8, 20, 27 -, iloczyn 12
symbol 12, 27 —, zbiór 12
— alternatywy 14 występowanie kwanlyńkatorów ogra-
— fałszu 14 niczone 99
— koniunkcji 14 — symbolu negatywne 90
— kwantyfikatora ogólnego 14 — — pozytywne 90
— — szczegółowego 14 — wyrażenia 19
— negacji 14 — —, cześć 19
— prawdy 14 — zmiennej wolne 19
— — związane 19 Tarskiego twierdzenie 97
tautologia {formuła prawdziwa) 26, 75 Zbiór dedukcyjnic niesprzeczny 54
— właściwa 68 — — sprzeczny 54
zbiór formuł 18, 27 zbiór symboli relacyjnych 27
— — atomowych 27 — termów 12, 16
— funkcjonalnie zupełny 40 — właściwie sprzeczny 68
— interpretacji właściwych 68 —.wnętrze 42
— kategoryczny w mocy 73 — wszystkich warstw 29
— operacji 17 zdanie 18, 19, 27, 31
— otwarty 42 zmienna wolna 19
— rozstrzygamy 44 — związana 19
— semantycznie niesprzeczny 26 Zorna iemat 61
— — sprzeczny 26



SPIS TREŚCI



Z przedmowy Autora............ 5
§ 1. Wstęp................
§ 2. Program............... 8
§ 3. Gramatyka.............. 11
§ 4. Termy................ 15
§ 5. Formuły i zdania .........* • 18
§ 6. Interpretacje i struktury......... 19
§ 7. Zależność i podstawianie......... 23
§ 8. Implikacja semantyczna ......... 25
§ 9. Rachunek zdań............ 27
§ 10. Algebra zdań............. 29
§ 11. Dysjunktywna postać normalna....... 31
§ 12. Algebra Boole'a............ 36
§ 13. Warianty rachunku zdań......... 39
§ 14. Rozstrzygalność i aksjomatyzowalność .... 43
§ 15. Teorie rozstrzygalne........... 46
§ 16. Aksjomatyka rachunku predykatów..... 52
§ 17. Słuszność aksjomatyzacji......... 57
§ 18. Twierdzenie o dedukcji......... 58
§ 19. Twierdzenie o niesprzeczności....... 60
§ 20. Twierdzenie o pełności i twierdzenie o zwartości 66
§ 21. Rachunek predykatów z identycznością .... 68
§ 22. Twierdzenie Skolema-Lówenheima...... 70
§ 23. Kategoryczność............ 73
§ 24. Wnioskowanie naturalne Gentzena...... 74
§ 25. Drugi formalizm............ 78
§ 26. Twierdzenie o pełności.......... 80
§ 27. Twierdzenie Herbranda-Gcntzena...... 84
§ 28. Lemat Craiga............. 88
§ 29. Rozumowanie przekątniowe i paradoksy .... 91
§ 30. Numeracja Godła............ 93
§ 31. Twierdzenie Tarskiego.......... 94
§ 32. Twierdzenie Gódla o niezupehiości...... 97
§ 33. Rozstrzygalność i twierdzenie Churcha .... 98
§ 34. Nieudowadnialność niesprzeczności...... 101
Bibliografia................ 103
Bibliografia uzupełniająca........... 104
Skorowidz symboli............. 105
Skorowidz terminów ............ 107


WIELKOŚĆ 17X11CM,MIĘKKA OKŁADKA,LICZY 111 STRON.

STAN:OKŁADKA DB-/DST+,ŚRODEK DB/DB- .

KOSZT WYSYŁKI WYNOSI 5 ZŁ - PŁATNE PRZELEWEM /PRZESYŁKA POLECONA EKONOMICZNA + KOPERTA BĄBELKOWA.W PRZYPADKU PRZESYŁKI POLECONEJ PRIORYTETOWEJ PROSZĘ O DOPŁATĘ W WYSOKOŚCI 3ZŁ.KOSZT PRZESYŁKI ZAGRANICZNEJ ZGODNY Z CENNIKIEM POCZTY POLSKIEJ / .

WYDAWNICTWO PWN WARSZAWA 1968,NAKŁAD 3000 EGZ.

INFORMACJE DOTYCZĄCE REALIZACJI AUKCJI,NR KONTA BANKOWEGO ITP.ZNAJDUJĄ SIĘ NA STRONIE "O MNIE" ORAZ DOŁĄCZONE SĄ DO POWIADOMIENIA O WYGRANIU AUKCJI.

PRZED ZŁOŻENIEM OFERTY KUPNA PROSZĘ ZAPOZNAĆ SIĘ Z WARUNKAMI SPRZEDAŻY PRZEDSTAWIONYMI NA STRONIE "O MNIE"

NIE ODWOŁUJĘ OFERT KUPNA!!!

ZOBACZ INNE MOJE AUKCJE

ZOBACZ STRONĘ O MNIE