PRZEDMOWA
Niniejsza książka ma na celu przedstawienie podstawowych działów teorii liczb, jednej z najstarszych dyscyplin matematycznych. Ze względu na to, że teoria liczb jest dużym samodzielnym działem matematyki i wyczerpujące jej przedstawienie jest niemożliwe w książce o stosunkowo umiarkowanej objętości, przeto ograniczymy się do pewnego wyboru rezultatów tej teorii. Kolejne rozdziały będą poświęcone najbardziej typowym zagadnieniom różnych działów teorii liczb. I tak w rozdziale I, po podaniu pewnych ogólnych wiadomości wstępnych, zajmiemy się teorią kongraencji. Omówimy w nim bliżej kongruencje stopnia drugiego, dowodząc między innymi prawa wzajemności reszt kwadratowych. Rozdział II omawia elementy teorii funkcji arytmetycznych. Poznamy w nim klasyczne funkcje arytmetyczne, takie jak funkcja Eulera, funkcja sigma czy też funkcja Mobiusa. W rozdziale tym znajdzie się dowód twierdzenia Erdósa o charakteryzacji logarytmu wśród funkcji addy-tywnych oraz dowód wyniku Bircha, charakteryzującego potęgi wśród funkcji multyplikatywnych.
Pierwsze dwa rozdziały zajmują, się tzw. elementarną teorią liczb. Ten dział został potraktowany w tej książce dość skromnie ze względu na to, że w polskiej literaturze matematycznej znajduje się duże dzieło profesora Wacława Sierpiń-skiego ,,Teoria liczb" poświęcone zasadniczo elementarnej teorii liczb i czytelnik nią zainteresowany powinien zapoznać się przede wszystkim z tym dziełem.
W rozdziale III podamy podstawowe rezultaty teorii liczb pierwszych, a mianowicie tzw. twierdzenie o liczbach pierwszych oraz twierdzenie Dirichleta o liczbach pierwszych w postępach. Rezultaty te udowodnimy przy użyciu twierdzenia taube-rowskiego Delange'a-Ikehary, dowód którego będzie podany w tymże rozdziale.
Rozdział IV omawia metody sita, które w ostatnich latach burzliwie się rozwinęły. Zajmiemy się sitem Eratostenesa, sitem Selberga oraz wielkim sitem i podamy kilka ich zastosowań. Udowodnimy m.in. wynik Bruna o liczbach pierwszych bliźniaczych oraz twierdzenie Gallaghera o pierwiastkach pierwotnych.
Rozdział V dotyczy zagadnień geometrycznych. Podamy najpierw pewne elementarne fakty, dotyczące zbiorów wypukłych i krat, a następnie udowodnimy twierdzenie Minkowskiego o bryle wypukłej. W rozdziale tym podamy także elementarną metodę Winogradowa znajdowania ilości punktów kratowych w obszarach płaskich.
W rozdziale VI zajmiemy się addytywną teorią liczb. Czytelnik znajdzie w nim elementy teorii gęstości Schnirelmana, które wykorzystamy do dowodu twierdzenia Schnirelmana o przedstawianiu liczb naturalnych, w postaci sumy liczb pierwszych. Udowodnimy także twierdzenie Manna, dotyczące tej gęstości oraz twierdzenie Waringa-Hilberta.
Rozdział VII podaje elementy probabilistycznej teorii liczb. Udowodnimy w nim trzy podstawowe rezultaty tej teorii, a mianowicie nierówność Tur ana-Kubili usa, twierdzenie Erdosa-Kaca o rozkładzie normalnym oraz twierdzenie Erdosa o asym-ptotyeznych dystrybuantach funkcji addytywnych.
W rozdziale VIII będziemy mówili o aproksymacjach diofantycznych, tj. o przybliżaniu liczb niewymiernych przez liczby wymierne. Omówimy aparat ułamków łańcuchowych i udowodnimy twierdzenie Hurwitza o najlepszych przybliżeniach. Będziemy też mówić tu o ekwipartycji, udowodnimy kryterium Weyla, a także klasyczny rezultat Weyla o ekwipartycji ciągu wartości wielomianu.
Rozdział IX, ostatni, dotyczy uogólnień pojęcia liczby całkowitej. Podamy dwa takie uogólnienia — będziemy mówili o liczbach całkowitych algebraicznych i w związku z tym podamy elementarną teorię algebraicznych ciał liczbowych i pierścieni Dedekinda, a także o liczbach ^-adycznych całkowitych. W tym celu zdefiniujemy ciała liczb ^-adycznych i udowodnimy ich podstawowe własności.
Jednym z celów tej książki jest pokazanie związków teorii liczb z innymi działami matematyki, przeto świadomie, nieco wbrew tradycji, nie ograniczamy się do metod elementarnych, a staramy się używać szerokiego aparatu pozaarytmetycznego. Wykorzystuje się w książce aparat algebry, topologii, analizy i teorii prawdopodobieństwa, starając się wszakże nie wykraczać poza program podstawowych kursów tych przedmiotów na uniwersytetach.
Od czytelnika wymaga się w całej książce znajomości podstawowych pojęć algebraicznych, takich jak grupy, pierścienie czy ciała. W rozdziale III potrzebna jest znajomość podstawowych faktów teorii funkcji analitycznych, w rozdziale VII — znajomość elementów teorii prawdopodobieństwa, a do czytania rozdziału IX należy mieć pewne rozeznanie w topologii przestrzeni metrycznych oraz znać elementy teorii rozszerzeń ciał.
Książka ta wyrosła z wykładów prowadzonych na Uniwersytecie Wrocławskim im. B. Bieruta i na Uniwersytecie Bordeaux I. Do jej napisania namówił mnie, nieżyjący już dzisiaj, docent Marceli Stark. Bez Jego słów zaohęty plan jej napisania nie zostałby nigdy zrealizowany.
Pragnę podziękować profesorowi Andrzejowi Schinzlowi za wiele cennych uwag i wytknięcie szeregu niedokładności, a profesorowi Helmutowi Kochowi i mgrowi Janowi Śliwie za cenne uproszczenia dowodowe. Dziękuję także pani Teresie Bochynek za sporządzenie maszynopisu.
Wrocław, luty 1975 Władysław Narkiewicz
SPIS RZECZY
Przedmowa.................................. 6
Oznaczenia.................................. 8
Rozdział I. Podzielność, kongruencje
g 1. Podzielność. Liczby pierwsze....................... 11
§ 2. Równania diofantyezne pierwszego i drugiego stopnia........... 22
§ 3. Kongruencje.............................. 29
§ 4. Kongruencje kwadratowe........................ 41
§ 5. Zastosowanie sum trygonometrycznych w teorii kongruencji ........ 49
Rozdział II. Funkcje arytmetyczne
§ ł. Podstawowe własności......................... 59
§ 2. Funkcjo nddytywne i multyplikatywne.................. 66
§ 3. Gęstość naturalna. Wartość średnia funkcji................ 83
Rozdział III. Liczby pierwsze /
% 1. Twierdzenie Czebyszewa ........................ 95
§ 2. Szeregi Dirichleta .......................^ ¦ ¦ ¦ 1^3
§ 3. Twierdzenie tauberowskie........................ 112
§ 4. Twierdzenie o liczbach pierwszych. Twierdzenie Dirichleta......... 127
Rozdział IV. Metody sita
§ I. Sito Eratosteneea........................... 14*
§ 2. Sito Selberga............................. 153
§ 3. Wielkie sito..............,................ 164
Rozdział "V. Geometryczne zagadnienia w teorii liczb
§ 1. Zbiory wypukłe............................ 113
§ 2. Twierdzenie Minkowskiego o bryle wypukłej............... 1'9
§ 3. Punkty kratowe w obszarach na płaszczyźnie............... 190
Rozdział VI. Zagadnienia addytywne
§ 1, Gęstość Sehnirelmana.......................... 203
§ 2. Twierdzenie Waringa-Eilberta...................... 210
§ 3. Inne problemy addytywne-....................... 222
Rozdział VII. Probabilistyczna teoria liczb
§ 1. Nierówność Turana-Kubiliusa...................... 235
§ 2. Twierdzenie Erdósa-Kaca........................ 244
§ 3. Asymptotyczne dystrybuanty...................... 252
Rozdział VIII. Aproksymacje diofantyczne
§ 1. Ułamki łańcuchowe............... 271
§ 2. Ekwipartycja................. 285
Rozdział IX. Liczby algebraiczne i jo-adyczne
§ 1. Liczby algebraiczne i liczby całkowite......... 291
§ 2. Ideały w pierścieniach liczb całkowitych.............. 306
§ 3. Liczby j>-adyczne ............... 327
Wskazówki do dalszej lektury............. 339
Wykaz cytowanej literatury....................... 340
Skorowidz .................. 347
SKOROWIDZ
Abela splot 61
addytywna funkcja 67
algorytm Euklidesa 21
aproksymanta 90, 243
—¦ funkcji multyplikatywnyeh 90
— __ m(n)iQ(n) 96 Artina hipoteza 36, 169 Aubry-Thuego twierdzenie 189 automorfizmy kraty 180
Bakera twierdzenie 295 baza całkowita 303
— kraty 180
— zbioru liczb naturalnych 206 Bircha twierdzenie 90 Blichfeldta lemat 184 Bochnera twierdzenie 258 Borela twierdzenie 283 Bruna-Titehmarsha twierdzenie 161 brzeg zbioru 176
Całkowicie addytywna funkcja 67
— multyplikatywna funkcja 67 Caratheodory'ego twierdzenie 175 charaktery 130
— Dirichleta 134
— główne 134
— kwadratowe 134
— (mod ib) 134
— rzeczywiste 134
charakteryzacja logarytmu 78, 79, 81
— potęg 78, 90
Chevalleya twierdzenie 58
chińskie twierdzenie o resztach 32, 312
ciała kwadratowe 301
-------rzeczywiste 302
—- — urojone 302
— sprzężone 298 ciąg Fibonacciego 22 Cramera hipoteza 153
Czebyszewa twierdzenie 96 część całkowita liczby 8 —¦ ułamkowa liczby 8
Dedekinda pierścień 306, 308 Delange'a twierdzenie 262 Dirichleta funkcje L 136
— splot 59, 61, 66, 68
— szeregi 78, 103, 104, 105, 111
— twierdzenie 130, 139 (^-równoważność 89 dyatrybuanta 254
¦—¦ asymptotyczna 252
dzielenie z resztą 11
dzielników ilość 59, 69, 71, 73, 74
— problem 75, 198
— suma 59, 69, 71, 75
Ekwipartycja 285
— (mod 1) 285 Erdósa twierdzenie 269 Erdósa-Fuchsa twierdzenie 223 Erdósa-Kaca twierdzenie 245 Euklidesa algorytm 21 Eulera funkcja 31, 68, 71, 72
— stała 66, 72
¦—¦ twierdzenie 32, 40
Fermata liczby 13
— twierdzenie 32 funkcja addytywna 67
— arytmetyczna 59
— całkowicie addytywna 67
— — multyplikatywna 67
— charakterystyczna 254 ¦—¦ dzeta Riernanna 106
---------—, meromorf iczność 106
¦—¦ ¦—¦ —, problem zer 109
— Eulera 31, 68^ 71, 72
— Móbiusa 59, 69
funkcja multyplikatywna 67
— silnie addytywna 235 -------multyplikatywna 262
— tworząca 222
-------dla ilości partycji 228
funkcje L Dirichleta 136
Gęstość dolna zbioru 83
— górna zbioru 83
— naturalna 84
• — Schnirelmana 204 Goldbacha hipoteza 203 grupa dualna 130
— G(N) 31
— —, struktura 33 —- klas ideałów 317
Hardy-Jłamanujana twierdzenie o aproksy-mancie 100
-----------o partycjach 229
Hensela lemat 337
Hilberta-Waringa twierdzenie 203, 210, 213
hiperpłaszczyzna 176
— podpierająca 176 hipoteza Artina 36, 169
— Cramera 153
— Goldbacha 203
— Riemanna 109 Hurwitza twierdzenie 282
Ideały ułamkowe 307
— —„iloczyn 307
— — odwracalne 307
— względnie pierwsze 311 Ikehary-Delange'a twierdzenie 112 ilość dzielników 59, 69, 71, 73, 74 integralne domknięcie 297
Jednoznaczność rozkładu 15, 319, 333
Klasy ideałów 317
kompleksowa suma 203
kongruencja 29
-— kwadratowa 41
—, liczba rozwiązań 37, 50
— liniowa 37
kongraencje w pierścieniach Dedekinda 312 krata 179
Landaua symbole 8
— twierdzenie 105
Legendre'a symbol 42, 47, 135, 141, 320 lemat Blichfeldta 184
— Hensela 337 liczba klas 319 liczby algebraiczne 291
— —-, stopień 291
— —, unormowany wielomian minimalny 291 ¦-------, wielomian minimalny 291
— algebraiczne całkowite 295
— — — w ciałach kwadratowych 302 ¦—¦ bezkwadratowe 87
—¦ Fermata 13
— Mersenne'a 22
— ^-adyczne 328 —¦ ¦—¦ całkowite 331
¦—¦ parami względnie pierwsze 21 -— pierwsze 12
— -— bliźniacze 152
— przestępne 293 •—¦ sprzężone 298
— względnie pierwsze 21
— złożone 12 Linnika twierdzenie 168 Liouville'a twierdzenie 293
Małe sito 165 Manna twierdzenie 207 metoda Winogradowa 193 Mersenne'a liezby 22 minimum formy kwadratowej 187 Minkowskiego twierdzenie o bryle wypukłej 182
— ¦—-o formach liniowych 184
—-----o klasach ideałów 326
Móbiusa funkcja 59, 69
— wzór 69 moment 178 Mordella twierdzenie 51
Najmniejsza wspólna wielokrotność 19 największy wspólny dzielnik 19
— — — ideałów 311 niereszta kwadratowa (mod p) 41 nierówność Turana-Kubiliusa 237 norma ideału 316
— liczby algebraicznej 299
Partycja 228 Poiła równanie 186 pierścień Dedekinda 306, 308
— reszt (mod N) 29
pierwiastek pierwotny 35, 169 podzielnośe II
— ideałów 311
prawo wzajemności reszt kwadratowych 44 problem dzielników 75, 198 punkty kratowe pod hiperbolą 198 -------w kole 199
Ródei twierdzenie 189
reszta kwadratowa (mod p) 41
— (mod N) 29
-— z dzielenia 12 Riemanna funkcja dzeta 106
— hipoteza 109 Rotha twierdzenie 294 rozkład kanoniczny 17
— na czynniki pierwsze 15 rozszerzenie ciała 298 równanie diofantyczne 22
— — I stopnia 23, 25
— — II stopnia 26, 186
— Pella 186
Sehnirelmana gęstość 204 ¦— twierdzenie 206 Schmidta twierdzenie 294 silnie addytywna funkcja 235
— multyplikatywna funkcja 262 sito Eratostenesa 144, 148
— małe 165
— Selberga 165, 168
— wielkie 165, 168 splot Abela 61
— Dirichleta 59, 61, 66, 68
— unitarny 61, 66, 81, 82 stała Eulera 66, 72
stale Waringa 210, 221
v. Sternecka twierdzenie 66
stopień liczby algebraicznej 291
— rozszerzenia 298
suma dzielników 59, 69, 71, 75
— kompleksowa 203 sumowanie abelowskie 61
sumy 2 liczb pierwszych 161, 206
— fc-tych potęg 54, 210
— kwadratów 199, 201, 211, 212 symbol Legendrc'a 42, 47, 135, 141, 320 symbole Landaua 8
szacowanie sum przez całki 62, 65 szeregi Dirichleta 78, 103
szeregi Dirichleta, jedyność przedstawienia
105
—- —, odcięta zbieżności 104, 111 __ —,— — absolutnej 105, 111
— —, półpłaszczyzna zbieżności 104 __. —:>„ — absolutnej 105 -------.współczynniki 103
Ślad 299 środek masy 178
Turana-Kubiliusa nierówność 237 twierdzenie Aubry-Thuego 189
— Bakera 295
— Bircha 90
— Bochnera 258
— Borela 283
— Bruna-Titcbmarsha 161
— Caratheodory'ego 175
— Chevalleya 58
— chińskie o resztach 32, 312
— Czebyszewa 96
— Delange'a 262
— Dirichleta 130, 139
— Erdosa 269
— Erdósa-Fuchsa 223
— Erdósa-Kaca 245
— Eulera 32, 40 —¦ Fermata 32
¦—¦ Hardy-Ramanujana o aproksymancie 100
— _ —. o parfcycjach 229
— Hilberta-Waringa 203, 210, 213
— Hurwitza 282
—- Ikehary-Delange'a 112 —¦ Landaua 105
— Linnika 168
— Liouville'a 293
— Manna 207
—¦ Minkowskiogo o bryle wypukłej 182 —¦ — o formach liniowych 184 —¦ — o klasach ideałów 326
— Mordella 51
—- o liczbach pierwszych 127 ----------------w postępie 130, 139
— Redei 189 --- Rotha 294
— Sehnirelmana 206
— Schmidta 294
— v. Sternecka 66
twierdzenie Waringa 203, 210, 213
— Weyla 285
— Wilsona 40
Ułamek łańcuehowy 271, 274
— -—.długość 271
— —.mianowniki 272, 274
— —, redukty 272, 274
-------.wartość 272, 274
-------, zbieżność 274
unormowany wielomian minimalny 291 uwypuklenie 174
Waluacja p-adyczna 327 wartość średnia 87, 262 —- —-dolna 87
wartość średnia, górna 87 Waringa stałe 210, 221
— twierdzenie 203, 210, 213 Weyla twierdzenie 285 wielkie sito 165, 168 wielomian minimalny 291 Wilsona twierdzenie 40 Winogradowa metoda 193 wnętrze zbioru 176 wykładnik 16, 19 wyróżnik ciała 305
— kraty 181 wzór Mobiuaa 69
Zbieżność według gęstości 89 zbiór wypukły 173
WIELKOŚĆ 24X17CM,TWARDA OKŁADKA,LICZY 355 STRON.
STAN:OKŁADKA DB/DB+,NIEWAŻNE PIECZĄTKI,POZA TYM STAN W ŚRODKU BDB-/DB+ .
WYSYŁKA GRATIS NA TERENIE POLSKI / PRZESYŁKA POLECONA EKONOMICZNA + KOPERTA BĄBELKOWA ,W PRZYPADKU PRZESYŁKI POLECONEJ PRIORYTETOWEJ PROSZĘ O DOPŁATĘ W WYSOKOŚCI 3ZŁ.KOSZT PRZESYŁKI ZAGRANICZNEJ ZGODNY Z CENNIKIEM POCZTY POLSKIEJ / .
WYDAWNICTWO PWN WARSZAWA 1977.
INFORMACJE DOTYCZĄCE REALIZACJI AUKCJI,NR KONTA BANKOWEGO ITP.ZNAJDUJĄ SIĘ NA STRONIE "O MNIE" ORAZ DOŁĄCZONE SĄ DO POWIADOMIENIA O WYGRANIU AUKCJI.
PRZED ZŁOŻENIEM OFERTY KUPNA PROSZĘ ZAPOZNAĆ SIĘ Z WARUNKAMI SPRZEDAŻY PRZEDSTAWIONYMI NA STRONIE "O MNIE"
NIE ODWOŁUJĘ OFERT KUPNA!!!
ZOBACZ INNE MOJE AUKCJE
ZOBACZ STRONĘ O MNIE
