Wstęp 7

1. Układy równań 11

1.1. Macierze i wyznaczniki [1] 11

1.2. Metody dokładne rozwiązywania układów równań [2, 3, 5, 7, 8, 10] 25
1.2.1. Wzory Cramera 28
1.2.2. Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych 28
1.2.3. Algorytm rozwiązywania pięcioprzekatniowych układów równań 32
1.2.4. Metoda eliminacji Gaussa ! 33
1.2.5. Metoda Banachiewicza 40

1.3. Metody iteracyjne [3, 5, 7, 9] 45
1.3.1. Iteracja prosta 49
1.3.2. Metoda Gaussa-Seidla 50
1.3.3. Metoda nadrelaksacji 54
1.3.4. Metoda Richardsona 55

1.4. Metody rozwiązywania układów równań nieliniowych [2, 3, 5, 10] 56
1.4.1. Metoda Newtona 57
1.4.2. Modyfikacje metody Newtona 63
Literatura 65

2. Interpolacja 66

2.1. Definicja interpolacji 66
2.2. Interpolacja wielomianowa (wielomiany w postaci naturalnej) 68
2.3. Interpolacja Lagrange'a 69
2.4. Różnice skończone 72
2.5. Wzory interpolacyjne dla argumentów równoodległych 74
2.6. Oszacowanie błędu interpolacji 78
2.7. Wielomiany Czebyszewa, wzór interpolacyjny Czebyszewa 80
2.8. Interpolacja trygonometryczna [1,3] 84

2.9. Interpolacyjne wielomianowe funkcje gięte 86
2.9.1. Konstrukcja funkcji giętej 86
2.9.2. B-splajny 90
2.9.3. Wyrażanie splajnów przez wartości drugich pochodnych w węzłach interpolacji (momenty M,) 95

2.10. Pewne problemy interpolacji funkcji dwóch zmiennych 99
Literatura 101

3. Przybliżone metody rozwiązywania równań 103

3.1. Metody kolejnych przybliżeń 103
3.1.1. Metoda bisekcji 104
3.1.2. Metoda cięciw 106
3.1.3. Metoda stycznych (Newtona) 109
3.1.4. Oszacowanie błędu metody cięciw i metody stycznych 114
3;. 1.5. Metoda iteracji dla równania x=ip(x) 115
3.1.6. Metody rozwiązywania równań stopnia trzeciego [2] 118
3.1.7. Metoda Warmusa dla równań stopnia czwartego [2] 122

3.2. Wartości własne i wektory własne macierzy 125
3.2.1. Metody transformacyjne 128
3.2.2. Metody iteracyjne [3] 145
Literatura 150

4. Całkowanie i różniczkowanie 151

4.1. Kwadratury interpolacyjne 151
4.1.1. Metoda prostokątów 152
4.1.2. Oszacowanie błędu metody prostokątów 153
4.1.3. Metoda trapezów 154
4.1.4. Metoda Simpsona 156

4.2. Wzory Cotesa 156
4.3. Kwadratury Gaussa [1, 2, 3] 158

4.4. Kubatury Gaussa 162
4.4.1. Całka podwójna po trójkącie 163
4.4.2. Całka podwójna po czworokącie 167
4.4.3. Całka powierzchniowa nieskierowana - całkowanie po trójkącie 169
4.4.4. Całka powierzchniowa nieskierowana - całkowanie po czworokącie .... 171

4.5. Przybliżone obliczanie całek potrójnych 172
4.6. Metoda Monte Carlo 176

4.7. Różniczkowanie numeryczne 180
4.7.1. Wykorzystanie rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy 180
4.7.2. Różniczkowanie na podstawie wzorów interpolacyjnych 189
Literatura • 199

5. Aproksymacja funkcji 200

5.1. Definicje, pojęcia podstawowe 200

5.2. Metoda najmniejszych kwadratów 203
5.2.1. Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej 204
5.2.2. Funkcja jednej zmiennej liniowa względem parametrów 212
5.2.3. Aproksymacja liniowa funkcji dwóch zmiennych 216
5.2.4. Aproksymacja liniowa funkcji wielu zmiennych 220
5.2.5. Funkcja wielu zmiennych liniowa względem parametrów 222

5.3. Oszacowanie jakości aproksymacji 224
5.3.1-. Badanie istotności liniowej jednowymiarowej funkcji regresji 225
5.3.2. Badanie istotności wielowymiarowej funkcji regresji 230
Literatura 234

6. Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych 235

6.1. Rozwiązywanie równań za pomocą szeregów 235
6.1.1. Metoda współczynników nieoznaczonych 235
6.1.2. Metody kolejnego różniczkowania (metoda jednego punktu) 238
6.1.3. Metoda kolejnych przybliżeń Picarda , 240

6.2. Dyskretne metody rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych .... 242
6.2.1. Metoda łamanych 243
6.2.2. Ulepszenia metody łamanych 244
6.2.3. Oszacowanie błędu metod Eulera 248
6.2.4. Wzory Rungego-Kutty 250
6.2.5. Metody wielokrokowe dla równań różniczkowych pierwszego rzędu . . 253
Literatura 257

7. Metoda różnic skończonych 258

7.1. Metoda różnic skończonych dla zagadnień początkowych 261
7.2. Metoda różnic skończonych dla zadań brzegowych (ID) 264
7.3. Metoda różnic skończonych dla zadań brzegowych (2D) 269
7.4. MRS dla zadań brzegowo-początkowych (ID i 2D) 275
7.5. MRS dla nieliniowych zadań brzegowo-początkowych 285
7.6. Dołączanie warunków brzegowych 289
7.7. Uogólniona metoda różnic skończonych [3] 295
Literatura 306

8. Metoda elementów skończonych 307

8.1. Metoda odchyłek ważonych 307
8.2. MES dla ustalonego przepływu ciepła w płycie (zadanie ID) 309
8.3. MES dla ustalonego przepływu ciepła w walcu i kuli (zadania ID) 320
8.4. MES dla nieustalonego przepływu ciepła (zadania ID) 327
8.5. Metoda elementów skończonych w zadaniach 2D 336
8.6. Metoda elementów skończonych dla obszarów osiowosymetrycznych 351
Literatura 358

9. Metoda elementów brzegowych 359

9.1. MEB dla stanów ustalonych (zadania ID) 359
9.2. MEB dla stanów ustalonych (zadania 2D) 371

9.3. MEB dla stanów nieustalonych (zadania ID) 388
9.3.1. I schemat MEB 392
9.3.2. II schemat MEB 399
9.3.3. MEB z dyskretyzacją czasu 405

9.4. MEB dla stanów nieustalonych (zadania 2D) 411
9.4.1. I schemat MEB 414
9.4.2. II schemat MEB 422
9.4.3. MEB z dyskretyzacją czasu 427
Literatura 434

10. Wybrane zagadnienia modelowania krzywych płaskich 435

10.1. Zadanie interpolacyjne Lagrange'a 435
10.2. Wielomiany Bernsteina, krzywe Beziera 422
10.3. Funkcje B-sklejane, krzywe B-sklejane 457
10.4. Krzywe NURBS 472
Literatura 474