Metody numeryczne
Piotr Tatjewski
rok wydania: 2013
stron: 218
format: B5
oprawa: miękka
wydawnictwo: Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej
W pracy przedstawiono podstawy metod numerycznych, zarówno pojęcia związane z komputerową realizacją liczb i obliczeń, jak i podstawowe algorytmy numeryczne. Daje to czytelnikowi wiedzę potrzebną do samodzielnego implementowania szeregu algorytmów oraz właściwego korzystania z dostępnego oprogramowania. Materiał i sposób prezentacji dobrane są na podstawie wieloletnich doświadczeń autora, wykładowcy metod numerycznych dla kierunków Informatyka oraz Automatyka i Robotyka. Praca może służyć też studentom innych kierunków studiów technicznych.
SPIS TREŚCI:
Przedmowa 9
Rozdział 1. Pojęcia podstawowe 11
1.1. Maszynowa reprezentacja liczb, błędy reprezentacji 11
1.2. Arytmetyka zmiennopozycyjna 14
1.3. Uwarunkowanie zadania 17
1.4. Algorytm i jego numeryczne realizacje 23
1.5. Stabilność numeryczna algorytmów 24
Rozdział 2. Układ równań liniowych, rozkłady trójkątne macierzy 29
2.1. Normy wektorów i macierzy 29
2.2. Uwarunkowanie macierzy, układu równań liniowych 32
2.3. Eliminacja Gaussa, rozkład LU 33
2.3.1. Układ równań z macierzą trójkątną 34
2.3.2. Eliminacja Gaussa 35
2.3.3. Rozkład LU macierzy 37
2.3.4. Eliminacja Gaussa z wyborem elementu głównego 40
2.3.5. Iteracyjne poprawianie rozwiązania 48
2.3.6. Metoda eliminacji zupełnej (Gaussa-Jordana) 48
2.4. Rozkład Cholesky'ego - Banachiewicza (LLT) 49
2.4.1. Rozkład LLT 49
2.4.2. Rozkład LDLT, relacje między rozkładami trójkątnymi 51
2.5. Obliczanie wyznacznika i macierzy odwrotnej 53
2.6. Iteracyjne rozwiązywanie układu równań liniowych 56
2.6.1. Metoda Jacobiego 58
2.6.2. Metoda Gaussa-Seidela 59
2.6.3. Testy stopu 60
Rozdział 3. Rozkład QR, wartości własne i szczególne 63
3.1. Rozkład ortogonalno-trójkątny (QR) macierzy 63
3.2. Wyznaczanie wartości własnych 69
3.2.1. Podstawowe definicje i własności (przypomnienie) 69
3.2.2. Metoda QR znajdowania wartości własnych 73
3.3. Wartości szczególne, dekompozycja SVD 79
3.4. Liniowe zadanie najmniejszych kwadratów 81
3.5. Przekształcenie Givensa, z zastosowaniami 85
3.5.1. Przekształcenie (obrót) Givensa 85
3.5.2. Metoda Jacobiego wyznaczania wartości własnych macierzy symetrycznej 87
3.5.3. Rozkład QR macierzy obrotami Givensa 89
3.6. Przekształcenie Householdera, z zastosowaniami 90
3.6.1. Przekształcenie (odbicie) Householdera 90
3.6.2. Rozkład QR macierzy odbiciami Householdera 92
3.6.3. Redukcja macierzy do postaci Hessenberga odbiciami Householdera, z zachowaniem podobieństwa 93
Rozdział 4. Aproksymacja 97
4.1. Aproksymacja średniokwadratowa dyskretna 99
4.1.1. Aproksymacja wielomianami w bazie naturalnej 102
4.1.2. Aproksymacja funkcjami z przestrzeni o bazie ortogonalnej 105
4.2. Aproksymacja Padé 107
Rozdział 5. Interpolacja 113
5.1. Interpolacja wielomianami algebraicznymi 114
5.1.1. Wzór interpolacyjny Lagrange'a 115
5.1.2. Wzór interpolacyjny Newtona 116
5.2. Interpolacja funkcjami sklejanymi 122
Rozdział 6. Równania nieliniowe i zera wielomianów 135
6.1. Wyznaczanie zer funkcji nieliniowej 135
6.1.1. Metoda bisekcji (połowienia) 136
6.1.2. Metoda regula falsi 137
6.1.3. Metoda siecznych 139
6.1.4. Metoda Newtona (stycznych) 140
6.1.5. Przykładowa realizacja efektywnego algorytmu 142
6.2. Rozwiązywanie układów równań nieliniowych 143
6.2.1. Metoda Newtona 145
6.2.2. Metoda Broydena 146
6.2.3. Metoda iteracji prostej 147
6.3. Wyznaczanie zer wielomianów 147
6.3.1. Metoda Müllera 148
6.3.2. Metoda Laguerre'a 150
6.3.3. Deflacja czynnikiem liniowym 151
6.3.4. Poprawianie zer (root polishing) 152
6.3.5. Metoda Bairstowa 152
Rozdział 7. Równania różniczkowe zwyczajne 157
7.1. Metody jednokrokowe 163
7.1.1. Metody Rungego-Kutty (RK) 165
7.1.2. Metody Rungego-Kutty-Fehlberga (RKF) 170
7.1.3. Wyznaczanie zmienionej długości kroku 173
7.2. Metody wielokrokowe 175
7.2.1. Metody Adamsa 176
7.2.2. Błąd aproksymacji 178
7.2.3. Stabilność i zbieżność 180
7.2.4. Metody predyktor-korektor 184
7.2.5. Metody predyktor-korektor ze zmiennym krokiem 186
7.3. Równania źle uwarunkowane 192
Rozdział 8. Różniczkowanie i całkowanie numeryczne 199
8.1. Różniczkowanie numeryczne 199
8.2. Całkowanie numeryczne 206
Bibliografia 217
