Opis książki
Spis rzeczy
Rozdział V. Równania różniczkowe
§ 1. Sformułowanie problemu..
§ 2. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności
Istnienie i jednoznaczność rozwiązań lokalnych
Rozszerzenie metody na rozwiązanie pewnych równań całkowych
Przedłużenie rozwiązań lokalnych równania różniczkowego
Oszacowanie aprioryczne rozwiązań równania różniczkowego
Warunek istnienia rozwiązań globalnych na [a, b
Zastosowanie do mechaniki
Ciągłość rozwiązania w zależności od parametru
Pochodne wyższych rzędów rozwiązania równania różniczkowego
Całki pierwsze równania różniczkowego
Równanie różniczkowe zdefiniowane przez pole wektorowe
§ 3. Równania różniczkowe liniowe
Rezolwenta równania różniczkowego liniowego
Równanie liniowe z wyrazem wolnym
Przypadek równania różniczkowego skalarnego rzędu p z wyrazem wolnym ..
Zastosowanie teorii równań różniczkowych liniowych do zagadnienia ciągłości i różnicz-
kowalności rozwiązania równania różniczkowego, zależnego od
§ 4. Równania różniczkowe liniowe o współczynnikach stałych
Szczególny przypadek, gdy przestrzeń F jest /z-wymiarowa. Konstrukcja eksponenty operatora
Równanie różniczkowe skalarne rzędu p o współczynnikach stałych.....
Równania różniczkowe skalarne rzędu p o współczynnikach stałych i z wyrazem wolnym 55
Rozwiązania ograniczone równań różniczkowych liniowych o współczynnikach stałych 58
Rozdział VI. Rachunek różniczkowy zewnętrzny
§ 1. Odwzorowania wieloliniowe skośne
Odwzorowania symetryczne i antysymetryczne..............
Iloczyn zewnętrzny form wieloliniowych antysymetrycznych
Iloczyny zewnętrzne odwzorowań wieloliniowych
Algebra zewnętrzna przestrzeni E
§ 2. Orientacja przestrzeni wektorowej skończenie wymiarowej nad S
Inne metody orientowania przestrzeni wektorowej
Własności szczególne p-form antysymetrycznych na przestrzeni Af-wymiarowej E euklidesowej zorientowanej........................... . 78
§ 3. Formy różniczkowe w przestrzeni afinicznej
Przykłady form różniczkowych..............
Iloczyn zewnętrzny form różniczkowych
Forma różniczkowa odpowiadająca pochodnej funkcji
Cofanie form różniczkowych przy odwzorowaniu
Formy różniczkowe na rozmaitościach abstrakcyjnych
Formy różniczkowe i pola w przestrzeni euklidesowej zorientowanej W-wymiarowej
4. Kobrzeg lub różniczka zewnętrzna formy różniczkowej zewnętrznej
Gradient, dywergencja, rotacja w ^-wymiarowej zorientowanej afinicznej przestrzeni euklidesowej E. 101
Interpretacja mechaniczna dywergencji
Obliczenia we współrzędnych sferycznych w J?3
Pierwotna zewnętrzna formy różniczkowej
5. Orientacja rozmaitości różniczkowalnych nad ciałem liczb rzeczywistych
Układ ciągły orientowania rozmaitości
Porównanie dwóch układów ciągłych orientowania
Orientowalność i orientacja rozmaitości
Orientacja rozmaitości przez mapy współzorientowane
Orientacja rozmaitości przez pola wektorowe ciągłe
Orientacja rozmaitości przez znak form różniczkowych rzeczywistych
Przykład rozmaitości nieorientowalnej; wstęga Mobiusa
Orientowalność rozmaitości zespolonych
Orientacja transwersalna rozmaitości S o wymiarze n = N— l w przestrzeni afinicznej
E o wymiarze N nad ciałem liczb rzeczywistych
Orientacja transwersalna za pomocą pola ciągłego wektorów normalnych
Podział przestrzeni na części za pomocą h iperpowierzchni
Orientacja transwersalna hiperpowierzchni i podział przestrzeni na części.
Zależność między orientacją transweralną i orientacją
} 6. Całkowanie formy różniczkowej na rozmaitości zorientowanej
Całka formy różniczkowej stopnia n na rozmaitości n-wymiarowej zorientowanej
Własności elementarne całki
Praktyczne obliczanie całki
Szacowanie całki
Zastosowanie do praktycznych wyliczeń
Przypadek hiperpowierzchni przestrzeni euklidesowej
Przekształcenie za pomocą dyfeomorfizmu
Całka formy różniczkowej na zorientowanej rozmaitości parametrycznej lub osobliwej 149
Własności całki formy na rozmaitości osobliwej
Całka form różniczkowych na rozmaitościach mających osobliwości
Całka krzywoliniowa
Całka krzywoliniowa na dowolnej drodze o skończonej długości
§ 7. Wzór Stokesa
Rozmaitości z brzegiem
Rozmaitości z pseudobrzegiem
Orientacja pseudobrzegu..............
Twierdzenie Stokesa
Twierdzenie elementarne Stokesa
Twierdzenie ogólne Stokesa
Badanie szczególnego przypadku »=1
Badanie szczególnego przypadku n = 2 w płaszczyźnie Rł. Wzór Riemanna
Ważniejsze wzory całkowe analizy wektorowej
Reguły transformowania całek w analizie wektorowej
§ 8. Zastosowanie teorii form różniczkowych do topologii algebraicznej
Całka kocyklu na cyklu
Twierdzenie de Rhama
Zastosowanie do funkcji „argument" w R2
Operacja dodawania określona na cyklach
Cykle homologiczne zeru
Zbiór klas Cm-homologii zbioru Q ma strukturę grupy abelowej
Homotopia
Homotopia jest pojęciem czysto topologicznym, ponieważ w jego definicji interweniują
tylko odwzorowania ciągłe
Przestrzenie jednospójne
Forma różniczkowa kąta bryłowego
Homologią w dopełnieniu zbioru skończonego z przestrzeni afinicznej
Ogólna postać klas homologii w GA, homologicznych zeru w^3
Indeks cyklu o wymiarze N— l względem punktu w przestrzeni afinicznej zorientowanej
A^wymiarowej
Inwariantność indeksu przy ciągłej deformacji
Zmiana indeksu cyklu przy przejściu przez obraz cyklu
Zastosowanie do obliczania indeksów w różnych częściach przestrzeni, określonych przez
cykl
Stopień topologiczny odwzorowania ciągłego
Uogólnienie teorii stopnia topologicznego
Rozdzial VII. Funkcje zmiennych zespolonych
§ 1. Różniczkowalność względem ciała liczb rzeczywistych i ciała liczb zespolonych
Wprowadzenie symboli
§ 2. Elementarna teoria funkcji holomorficznych zmiennej zespolonej. Wzory całkowe Cau-
chy'ego
Pierwszy podstawowy wzór całkowy Cauchy'ego
Drugi podstawowy wzór całkowy Cauchy'ego
§ 3. Wnioski z drugiego wzoru całkowego Cauchy'ego
Uogólnienie nierówności Cauchy'ego
Rozwinięcie w szereg Taylora
Funkcje całkowite. Twierdzenie Liouville'a
§ 4. Funkcje meromorficzne. Bieguny i punkty istotnie osobliwe. Teoria residuów. Obliczanie
całek metodą residuów
Zachowanie się funkcji w sąsiedztwie punktu istotnie osobliwego
Zachowanie residuów form różniczkowych przy Ci-homeomorfizmie
Wzór dla zer i biegunów funkcji meromorficznej
Uogólnienie na powierzchnie Riemanna
Pierwszy problem Cousina na płaszczyźnie zespolonej
Ważniejsze przypadki szczególne
Pierwszy problem Cousina na powierzchni Riemanna
Drugi problem Cousina na płaszczyźnie zespolonej
§ 5. Zastosowania twierdzenia o residuach do obliczania całek oznaczonych
Zastosowanie do splotu
Wprowadzenie czynników wykładniczych
§ 6. Uzupełnienia topologii ogólnej. Twierdzenia Ascoliego i Montela
Przestrzenie półmetryczne
Ciągłość i ciągłość jednostajna
Struktura jednostajna, struktura lipszycowska
Ciągi Cauchy'ego, przestrzeń ciągowo zupełna
Przestrzenie półmetryczne metryzowalne..................
Podzbiory ograniczone przestrzeni półmetrycznej
Przestrzenie wektorowe półunormowane
Zbiory ograniczone w przestrzeni wektorowej topologicznej
Zbiory odwzorowań jednakowo ciągłych i twierdzenia Ascoliego
Dopełnienia topologiczne, twierdzenia Baire'a i Banacha-Steinhausa
Własność Montela
Rozdział VIII. Uzupełnienia o zbieżności prostej i jednostajnej szeregu i całki Fouriera
§ 1. Uwagi wstępne
Zbieżność szeregu Fouriera
§ 2. Zachowanie się lokalne funkcji i porównanie zbieżności szeregu Fouriera i całki Fouriera
Skorowidz ważniejszych symboli
Skorowidz nazwisk .............
Skorowidz nazw ...
