"KURS ANALIZY MATEMATYCZNEJ"

Spis Treści:

Przedmowa

Od tłumacza

Rozdział I. Teoria zbiorów
1. Zbiory. Operacje elementarne
Podzbiory zbioru
Relacje zawierania się, dopełnienie
Suma. Iloczyn
Iloczyn zbiorów
2. Odwzorowania. Funkcje
Przykłady odwzorowań
Iniekcje, suriekcje, bijekcje
Obraz i przeciwobraz podzbioru
Zbiory odwzorowań. Rodziny, ciągi
Złożenie odwzorowań
Zmiany zmiennych i zmiany funkcji
3. Relacja równoważności, zbiór ilorazowy
Klasy równoważności. Podziały
Zbiór ilorazowy
Iloraz grupy przez podgrupę niezmienniczą
Iloraz przestrzeni wektorowej przez podprzestrzeń wektorową
4. Relacje porządkujące
Przykłady relacji porządkujących
Części majoryzowalne, majoranty, maksimum, kres górny
Funkcje rosnące
Prosta uzupełniona
5. Moc zbioru. Zbiory przeliczalne
Moc zbioru. Liczby kardynalne
Zbiory przeliczalne
Moc continuum
Liczby przestępne
Hipoteza continuum
6. Niektóre podstawowe pojęcia logiki

Rozdział II. Topologia
1. Przestrzenie metryczne. Elementarne przykłady
Sfery. Kule
Przestrzenie wektorowe unormowane
2. Części otwarte i domknięte. Otoczenia. Wnętrze. Brzeg. Domykanie. Podzbiory gęste
Części otwarte
Części domknięte
Otoczenia
Wnętrze
Zewnętrze
Brzeg
Domknięcie
Podzbiory gęste
Podprzestrzeń. Metryka indukowana
3. Funkcje ciągłe. Homeomorfizmy
Homeomorfizmy
4. Przestrzenie metryczne i przestrzenie topologiczne
Topologia prostej uzupełnionej
5. Ciągi- Granice. Zbieżności
6. Topologia iloczynowa
Ciągi zbieżne w iloczynie
Funkcje ciągłe wielu zmiennych
Grupy topologiczne. Przestrzenie wektorowe topologiczne
Ciągłość cząstkowa funkcji dwóch zmiennych
7. Przestrzenie zwarte. Własności elementarne
Przestrzenie lokalnie zwarte
Punkt skupienia ciągu
Granica górna i granica dolna ciągu rzeczywistego
8. Własności funkcji ciągłych na przestrzeni zwartej
Ciągłość jednostajna
9. Przestrzenie spójne
Przestrzenie łukowo spójne
10. Uzupełnienia topologii ogólnej dla przestrzeni spójnych
Kilka zastosowań pojęcia spójności; kryteria niehomeomorficzności
Istnienie i ciągłość funkcji odwrotnej do funkcji ciągłej ściśle monotonicznej
11. Przestrzenie metryczne zupełne
Przedłużenie odwzorowań jednostajnie ciągłych
Szczególne własności przestrzeni wektorowych topologicznych skończenie wymiarowych
12. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym
13. Elementarna teoria przestrzeni wektorowych unormowanych i przestrzeni Banacha
Jądro i obraz ciągłego odwzorowania liniowego
Iloczyn przestrzeni wektorowych unormowanych
Ciągłe dwuliniowe odwzorowania iloczynu przestrzeni wektorowych unormowanych w przestrzeń wektorową unormowaną
Odwzorowania wieloliniowe ciągłe
Algebry. Algebry unormowane
14. Szeregi w przestrzeniach wektorowych unormowanych
Zmiana porządku wyrazów szeregu
Blokowe sumowanie szeregu przesta wiał nie zbieżnego
Działanie odwzorowania ciągłego na szereg
Iloczyn dwóch szeregów liczbowych. Zastosowanie odwzorowania dwuliniowego ciągłego do dwóch szeregów
Odwracalne odwzorowania w przestrzeniach Banacha
Kryterium zbieżności warunkowej
15. Najczęściej stosowane przestrzenie funkcyjne; zbieżność zwykła i jednostajna
Przestrzenie funkcyjne
Zbieżność zwykła ciągu funkcyjnego
Zbieżność jednostajna ciągu funkcyjnego
Inne zastosowania pojęcia zbieżności jednostajnej
Przestrzenie generowane strukturami przestrzeni E i f
Ciągłość lokalnie jednostajnej granicy ciągu funkcji ciągłych
Niektóre kontrprzykłady
Szeregi funkcyjne w przestrzeni wektorowej unormowanej
16. Przestrzenie Hilberta
Formy półtoraliniowe
Przestrzenie prehilbertowskie
Twierdzenie o rzutowaniu (projekcji)
Zastosowania do podprzestrzeni wektorowych domkniętych przestrzeni Hilberta
Przestrzeń dualna przestrzeni Hilberta
Sumy proste hilbertowskie, bazy hilbertowskie
Operator sprzężony z operatorem
Operatory zwarte
17. Iloczyny nieskończone liczb i funkcji w dziedzinie rzeczywistej lub zespolonej
Iloczyny nieskończone i szeregi logarytmiczne
Zastosowanie do funkcji L Riemanna

Rozdział III. Rachunek różniczkowy
1. Przestrzenie afiniczne
Rozmaitości afiniczne
Odwzorowania liniowe, odwzorowania afiniczne
Przestrzenie afiniczne unormowane
Zbiory wypukłe w przestrzeniach af hucznych
Przestrzenie wektorowe i afiniczne euklidesowe
Przestrzenie wektorowe i afiniczne hermitowskie
Izomorfizm (lub półizomorfizm) przestrzeni euklidesowej (lub hermitowskiej) skończenie
wymiarowej i jej przestrzeni dualnej
Bazy ortonormalne
Uogólnione przestrzenie euklidesowe i hermitowskie
2. Funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej. Ciągłość prawostronna i ciągłość lewostronna
Nieciągłość pierwszego rodzaju. Funkcje regularne
Pochodna rzeczywistej funkcji zmiennej rzeczywistej
Funkcje monotoniczne
Funkcje różniczkowalne i twierdzenie o wartości średniej
Funkcje wypukłe
3. Pochodna odwzorowania przestrzeni afinicznej w przestrzeń afiniczną. Wektor pochodny
funkcji zmiennej skalarnej
Przypadek ogólny; pochodna względem wektora
Macierz Jacobiego. Jakobian
Niedostatki pojęcia pochodnej względem wektora
Pochodna zupełna, Czyli odwzorowanie pochodne
Zapis różniczkowy
Interpretacja geometryczna odwzorowania pochodnego: rozmaitość rózmczkowalna
i rozmaitość liniowa styczna
Gradient funkcji rzeczywistej określonej w przestrzeni euklidesowej
Przypadek gdy Fjest iloczynem przestrzeni afinicznych
Przypadek gdy Sjest iloczynem przestrzeni afinicznych. Pochodne cząstkoweodwzorowarna
Pochodna odwzorowania dwuliniowego ciągłego
Funkcje różniczkowanie. Funkcje różniczkowalne w sposób ciągły
Przykłady funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły
Przestrzeń funkcji różniczkowalnych
4. Twierdzenie o funkcjach złożonych
Przykłady obliczania kilku, często spotykanych, pochodnych
5. Twierdzenie o przyrostach skończonych
Różniczkowalność zupełna i różniczkowalność cząstkowa
6. Pochodne rzędów wyższych
Pochodne rzędów wyższych
Przypadek przestrzeni iloczynowych. Różniczkowalność zupełna i częściowa
Przestrzenie funkcji m krotnie różniczkowalnych
Pochodna iloczynu (wzór Leibniza)
7. Wzór Taylora. Maksimum i minimum
Zastosowanie wzoru Taylora do obliczania pochodnych funkcji
Wzór Taylora względem układu współrzędnych
Zastosowanie do badania maksimów i minimów. Definicje
Warunki konieczne istnienia ekstremum
Warunki konieczne i wystarczające istnienia ekstremum
Szczególny przypadek funkcji rzeczywistej /dwu zmiennych rzeczywistych x
Zastosowanie wzoru Taylora do badania położenia hiperpowierzchni względem hiperplaszczyzny stycznej
8. Twierdzenie o funkcji niejawnej. Sformułowanie zagadnienia
Istnienie funkcji niejawnej
Różniczkowalność funkcji niejawnej
Różniczkowalność funkcji m-nT* na J§?(F; G)
Przypadek szczególny, gdy E = F= G = JT, ciała skalarów
Przypadek gdy przestrzenie E9 F i G są skończenie wymiarowe
Funkcja odwrotna jako funkcja niejawna
Obliczanie pochodnych wyższego rzędu funkcji niejawnej
Technika zmiany zmiennych i zmiany funkcji
9. Rozmaitości różniczkowalne
Definicja rozmaitości przez jej opis parametryczny
Przykłady rozmaitości
Definicja rozmaitości za pomocą równań niejawnych
Rozmaitości rzeczywiste i rozmaitości zespolone
Rozmaitości abstrakcyjne
Przestrzeń wektorowa styczna w punkcie rozmaitości w przestrzeni afiniczncj E o wymiarze N
Przestrzeń wektorowa styczna do rozmaitości abstrakcyjnej w punkcie
Twierdzenie o rzędzie stałym
Funkcje zależne i funkcje niezależne
Rozmaitości osobliwe lub parametryczne
10. Maksima i minima warunkowe (związane)
Praktyczny sposób znajdowania maksimum lub minimum warunkowego
Zastosowania teorii maksimów warunkowych. Nierówności Hdldcra i Minkowskicgo
11. Rachunek wariacyjny
Sformułowanie zagadnienia
Różniczkowalność funkcji J
Warunki konieczne ekstremum
Lemat Haara
Proste przypadki całkowalności równań Eulera
Równanie geodetyk na powierzchni
Zagadnienia ekstremum względnego
Wynik zmiany zmiennych
Zastosowania do zadania o geodetykach
Ruchome końce. Warunki transwersalności
Zastosowanie do geodetyk
Równania kanoniczne Hamiltona
Zastosowania do mechaniki
Rachunek wariacyjny dla całek wielokrotnych

Rozdział IV. Rachunek całkowy
1. Całka Riemanna na prostej
Funkcje schodkowe
Górna całka Riemanna funkcji ograniczonej / > 0 o nośniku zwartym
Funkcje całkowalne o wartościach w przestrzeni Banacha
Całka funkcji całkowalnej
Przykłady funkcji całkowalnych w sensie Riemanna
Obliczenie całki funkcji za pomocą sum Cauchy'ego-Riemanna
Wartość średnia funkcji w przedziale
2. Miary Radona na przestrzeni lokalnie zwartej
Miara Radona na przestrzeni zwartej
Przykłady miar Radona
Miary na przestrzeniach lokalnie zwartych
Przykłady miar Radona
Zastosowania do mechaniki i do fizyki
Miary wektorowe
Rozkład jedności
Nośnik miary Radona
Przedłużenie miary na funkcje ciągle o nośniku niezwartym
Zasada sklejania kawałków miar
Miary zespolone i miary rzeczywiste
Miary rzeczywiste dodatnie.
Zbiory półuporządkowane siatkowe
3. Przedłużenie miary dodatniej. Teoria Lebesgue'a
Miary zewnętrzne zbiorów otwartych
Miara wewnętrzna kompaktu
Zbiory mierzalne, miara zbiorów
Zbiory miary zero
Własności spełniane prawie wszędzie
mierzalne ftmkcje o wartościach w przestrzeni metryzowalnej ośrodkowej
Funkcje piętrowe
Funkcje borelowskie
Całka funkcji wektorowej piętrowej
Całka górna funkcji rzeczywistej nieujemnej
Całkowalność funkcji O wartościach wektorowych
Całka Lebesguea funkcji o wartościach wektorowych
Całkowalność i całki funkcji określonych prawie wszędzie
4. Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności. Przestrzeń
Przykłady zastosowania twierdzenia Lebesgue'a
Charakteryzacja funkcji całkowalnych. Całkowalność i mierzalność
Teoria całkowania, biorąca za podstawę funkcja ciągłe i półciągłe z dołu
Przestrzenie -SfpC3T» f*> F)
Przestrzenie L*(X,pF)> Twierdzenie Riesza-Fischera
Przestrzenie ^°°(F) i L«>{F)
Przedłużenie miary, która nie jest nieujemna
5. Mnożenie miary przez funkcję
Iloczyn miary wektorowej i funkcji ciągłej skalarnej
Własności elementarne
Przypadek, gdy fi jest miarą rzeczywistą pozytywną
Miary o bazie fi. Miary o bazie pozytywnej
Zastosowanie do przedłużania miary o wartościach wektorowych
Zastosowanie do całkowania funkcji względem wielu miar
Dualność przestrzeni U i U'
6. Obraz miary w odwzorowaniu
Przypadek gdy H: X -» Y jest homeomorfizmem
Uogólnienie twierdzenia 72 na przypadek, gdy fi nie jest 5*0
Różne przykłady obrazów miar
7. Zbieżność szeroka miar Radona
Zbieżność według normy. Zbieżność lokalna według normy
Zbieżność szeroka
Funkcje ^-całkowalne według Riemanna
Zbieżność szeroka i zbieżność jednostajna
Części zwarte przestrzeni (&k(X)
Zbieżność szeroka ciągu miar do miary Diraca
Zbieżność wąska ciągu miar o normie skończonej
Zbieżność szeroka i zbieżność wąska
8. Iloczyny tensorowe miar. Całki wielokrotne
Sformułowanie zagadnienia
Istnienie i jednoznaczność iloczynu tensorowego
Przykłady iloczynów tensorowych
Własności elementarne
Nośnik miary fi<&v
Obliczanie całki podwójnej za pomocą dwóch kolejnych prostych całkowań
Przypadek gdy funkcja całkowalna jest iloczynem funkcji zmiennej jc i funkcji zmiennej J
Dokończenie dowodu stwierdzenia prostego twierdzenia
Uogólnienie na dowolne całki wielokrotne
Zbieżność szeroka iloczynów tensorowych
9. Szczególne własności miar Radona na prostej rzeczywistej M
Wprowadzenie symbolu $ dfi
Całki nieokreślone
Funkcje o wahaniu skończonym
Funkcje o wahaniu skończonym i całki nieokreślone
Długość drogi w przestrzeni metrycznej
Całka nieokreślona i funkcja pierwotna
Kolejne pierwotne funkcji ciągłej na prostej
Wzór na całkowanie przez części
Zmiana zmiennej przy obliczaniu prostych całek
Całki niewłaściwe na prostej
Przykłady zastosowania kryterium Abela
Wartość główna Cauchy'ego
10. Całki wielokrotne na Długości, pola i objętości w przestrzeni euklidesowej afinicznej skończenie wymiarowej. Zmiana zmiennych w całkach wielokrotnych na R*
Mierzenie objętości w przestrzeniach afinicznych euklidesowych skończenie wymiarowy
Mierzenie długości w przestrzeni afinicznej euklidesowej
Mierzenie wymiarowych pól w rozmaitościach liniowych n-wymiarowych w przestrzeni
afinicznej euklidesowej skończenie wymiarowej
Pole n-wymiarowe parametrycznej rozmaitości n-wymiarowej
Obliczanie objętości za pomocą całek powierzchniowych
U. Funkcje przedstawialne szeregami lub całkami
Funkcje przedstawialne szeregami
Ciągłości sumy szeregu
Całkowalność sumy szeregu według miary > 0
Całkowalność sumy szeregu
Różniczkowalność iloczynu nieskończonego
Funkcje przedstawione całkami
Ciągłość funkcji przedstawionej całką
Całkowalność funkcji przedstawionej całką
Różniczkowalność funkcji przedstawionej całką
Przykłady całek niewłaściwych zbieżnych
Zastosowanie do podzielności funkcji różniczkowalnych
Skorowidz ważniejszych symboli
Skorowidz nazwisk
Skorowidz nazw


Istnieje możliwość zakończenia aukcji przed czasem!!!!!!