Znane jest w geometrii słynne twierdzenie węgierskiego matematyka Farkasa Bólyaiego: jeżeli dwa wielokąty mają równe pola, to zawsze można jeden z nich podzielić na skończoną ilość takich wielokątów, aby z nich można było ułożyć drugi wielokąt.

Oznacza to, iż wziąwszy np. kwadrat możemy, nie tracąc nic z jego pola, przekształcić go na pięciokąt albo sześciokąt foremny, albo na jeden czy na kilka trójkątów równobocznych itd.

Taka zamiana kwadratu na inną figurę może być wykonana nieraz różnymi sposobami, ale zawsze trzeba wykazać wiele pomysłowości i zręczności, żeby znaleźć chociaż jeden odpowiedni sposób.

Przypuśćmy nawet, że kwadrat jest już pocięty na potrzebną ilość części. Jednak nawet teraz trzeba niemało popracować, aby przez odpowiednie przekładanie tych części ułożyć szukaną figurę.

Jednak pożytecznie jest zacząć właśnie od tych ćwiczeń. Dlatego też w rozdziale pierwszym dajemy czytelnikom kilkanaście zadań-lamigłówek na układanie z części kwadratu rozmaitych figur, aby dzięki temu czytelnik stał się swego rodzaju „konstruktorem geometrycznym".

Przedstawiamy tu 12 kwadratów, które można przerysować, pomalować na różne kolory, nakleić na sztywny karton, porozcinać wzdłuż narysowanych linii, ułożyć w pudełku i w wolnych chwilach bawić się otrzymaną w ten sposób ciekawą i pożyteczną łamigłówką.

Rozdział drugi — to już następny krok w rozwijaniu pomysłowości konstruktorskiej. Rozdział ten zawiera rozpatrywanie geometrycznych sposobów rozcinania kwadratów dla łamigłówek pierwszego rozdziału, uzasadnienia możliwości przekształcania figur i szereg zadań do samodzielnego rozwiązywania, które wymagają już od czytelnika bardziej aktywnej, twórczej pracy przy rozcinaniu i przekształcaniu figur związanych w ten czy inny sposób z kwadratem.

Zadania to stają się pociągające dzięki temu, że są możliwe rozmaite ich rozwiązania. Niektóre z tych zadań zostały rozwiązane w głębokiej starożytności, ale, jak to czytelnik zobaczy, z biegiem czasu otrzymały lepsze rozwiązania; inne znów zadania do chwili obecnej wzbudzają zainteresowania, że tak powiem „sportowe" i często występują w olimpiadach matematycznych. Ćwiczenie się w konstruowaniu figur z części kwadratu jest nie tylko pożyteczną rozrywką geometryczną, ale ma też znaczenie praktyczne: może ono pomóc naszym czytelnikom — obecnym i przyszłym racjonalizatorom —

w racjonalnym krajaniu materiałów, w wyzyskaniu tzw. „odpadków", obrzynków skóry, tkanin, drewna itp. w celu otrzymania z nich pożytecznych przedmiotów.

,,Jeżeli krojczy na każdej parze cbuwia zaoszczędzi chociażby obrzynek skóry o powierzchni 0,8 dcm2, to jeden tylko oddział jednej fabryki obuwia da krajowi 100 000 par obuwia bez dodatkowego zużycia surowca" — mówił przodownik pracy, krojczy moskiewskiej fabryki „Komuna Paryska", W. Ma-trosow.

Znane są liczne przykłady ogromnej oszczędności osiągniętej przez przodowników pracy dzięki dobrze przemyślanej zmianie spqsobu krajania materiałów przemysłowych.

W rozdziale trzecim opowiadamy o pewnych niezw-ykłyeh własnościach kwadratu i o niespodziewanych analogiach, np. o analogii (dotychczas nie poruszanej w literaturze radzieckiej) między zadaniem o podziale prostokąta na skończoną ilość kw-adratów a prawami Kirchhoffa dla obwodu elektrycznego.

W szczególności podajemy przykład podziału kwadratu na 26 nierównych kwadratów i dzięki temu rozpraszamy wątpliwości wyrażone przez H. Steinhausa w znanej książce Kalejdoskop matematyczny: „nie wiadomo też, czy można podzielić kwadrat na nie powtarzające się kwadraty".

W niewielkim posłowiu zapoznamy czytelnika z pownym pomysłowym sposobem goometrycznym najbardziej oszczędnego krajania materiałów arkuszowych; sposób ten został opracowany przez matematyków radzieckich.

Na końcu każdego rozdziału znajdują sio rozwiązania zadań.

Rozdział pierwszy (łamigłówki) jest dostępny dla wszystkicłi. Treść rozdziału drugiego i trzeciego wymaga od czytelnika niewielkich wiadomości z geometrii elementarnej — mniej więcej w zakresie VII — VIII 2) klasy szkoły średniej — i jednocześnie bardzo sprzyja rozwojowi jego pojęć geometrycznych. Przy czytaniu tych rozdziałów należy zaopatrzyć się w ołówek i papier i jednocześnie z czytaniem tekstu przerabiać niezbędne obliczenia i rozwiązywania zadań. Każdy rozdział tworzy odrębną całość; czytelnik, zależnie od stopnia swego zainteresowania, może poprzestać na przestudiowaniu tylko rozdziału pierwszego albo tylko trzeciego.

Przypuszczamy, że temat tej książki wzbudzi zaciekawienie członków szkolnych kółek matematycznych.

B. Kordiemski, N. Ruaalew

Przedmowa .................................................... ;j

Rozdział T PRZEKSZTAŁĆRNIA KWADRATU (23 ŁAMIGŁÓWKI)

Łamigłówki .................................................... g

Rozwiązania łamigłówek ......................................... 2(}

Rozdział II GEOMETRIA PRZEKSZTAŁCEŃ KWADRATU

Zagadnienie rozcinania kwadratu .................................. :\2

Jak Abui Wefa ułożył kwadrat z trzech równych kwadratów.......... 33

Dwa sposoby przekształcenia kwadratu na trzy równo kwadraty....... 34

Przekształcenie kwadratu na trójkąt równoboczny................... 41

Przekształcenie trójkąta równobocznego na kwadrat ................. 4.">

Jak rozciąć równoleglobok, aby z otrzymanych części można było ułożyć

kwadrat ? .................................................. 4(j

15 zadań ....................................................... ,-,o

Możliwość przekształceń kwadratu ................................. 53

Przekształcanie kwadratu na 2, 3, . . ., n trójkątów równobocznych .... 62

Rozwiązania zadań rozdziału II ................................... 6(i

Rozdział III

PEWNE GODNE UWAGI WŁASNOŚCI KWADRATU

Pod jakim względem kwadrat jest „lepszy" od innych czworokątów?... 86

Reguła kwadratu w szachach ...................................... 90

Konstrukcje za pomocą zginania kwadratowego arkusza papieru ....... \)2

Kwadrat w kwadracie ........................................... 97

Zdarzenie z diamentem .......................................... 100

Kwadraty naokoło kwadratu ...................................... 101

Podział doskonały kwadratu ..................................... 105

Kwadraty a prądy elektryczne .................................... 107

Rozwiązania zadań rozdziału III ................................... 1 l(i

POSŁOWIE

Racjonalne krajanie materiałów .................................... 122

Bibliografia .................................................... 134