Rozdział 1. Elementy teorii prawdopodobieństwa

1. Przestrzeń probabilistyczna 7

1.1. Przestrzeń prawdopodobieństwa 7
1.2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa 8
1.3. Prosta rzeczywista jako przestrzeń prawdopodobieństwa .. 9
1.4. Statystyczna definicja prawdopodobieństwa 12
1.5. Prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń ... 12

2. Zmienna losowa i jej własności 14

2.1. Jednowymiarowa zmienna losowa 14
2.2. Wektor losowy jako wielowymiarowa zmienna losowa 16
2.3. Dystrybuanta zmiennej losowej 17
2.4. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej 17
2.5. Funkcja zmiennej losowej 18
2.6. Dystrybuanta i funkcja gęstości dwóch zmiennych losowych 22
2.7. Rozkłady brzegowe oraz warunkowe dwóch zmiennych losowych 22
2.8. Wartość średnia funkcji zmiennej losowej 25
2.9. Wartość średnia funkcji dwóch zmiennych losowych 26
2.10. Warunkowa wartość średnia funkcji dwóch zmiennych losowych 27
2.11. Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej 28
2.12. Niezależność zmiennych losowych 29
2.13. Korelacja i ortogonalność zmiennych losowych 30

3. Wybrane rozkłady zmiennych losowych 31

3.1. Rozkład gaussowski 31
3.1.1. Własności zmiennych losowych o rozkładzie normalnym 33

3.2. Rozkład Studenta 40
3.3. Rozkład chi kwadrat 42

Rozdział 2. Oceny optymalne zmiennych losowych

1. Funkcja strat i funkcja ryzyka 45

2. Ocena jednowymiarowej zmiennej losowej 46

2.1. Ocena zmiennej losowej x przy nieznanej realizacji zmiennej losowej y 46
2.2. Ocena zmiennej losowej x przy znanej realizacji zmiennej losowej y 49

3. Ocena wielowymiarowej zmiennej losowej 51

3.1. Ocena zmiennej losowej przy kwadratowej funkcji strat .. 52

4. Ocena liniowa zmiennej losowej 53

5. Ocena zmiennej losowej jako rzut 58

5.1. Liniowa przestrzeń zmiennych losowych 58
5.2. Interpretacja geometryczna oceny optymalnej dla rozkładu normalnego 59

Rozdział 3. Ocena stanu liniowych układów dynamicznych

1. Model układu dynamicznego 65
2. Zadanie wyznaczania oceny stanu 67

3. Filtracja stanu układu - filtr Kalmana 68

3.1. Wyznaczenie macierzy Kn 70
3.1.1. Wyznaczenie macierzy Pyn+1|nyn+1,n 71
3.1.2. Wyznaczenie macierzy PxB+1ya+1,n 72
3.1.3. Wyznaczenie macierzy Pn+n 72
3.1.4. Wyznaczenie macierzy Pn+i|n+i 73

3.2. Filtr Kalmana dla niezerowych wartości średnich 75
3.3. Filtr Kalmana dla modelu z wymuszeniami 78
3.4. Filtr Kalmana dla modelu z zakłóceniami skorelowanymi w czasie 80
3.5. Własności procesu xn+i|n+1 82

4. Predykcja stanu układu 83

5. Wygładzanie stanu układu 85

5.1. Wygładzanie w stałym punkcie 86
5.1.1. Wyznaczenie macierzy K% 87
5.1.1.1. Wyznaczenie macierzy -Px„yk+1|k 88
5.1.1.2. Wyznaczenie macierzy P„,A;+i|fc 89
5.1.2. Wyznaczenie macierzy P„in|fc 91

Rozdział 4. Oceny parametrów

1. Dokładność i precyzja estymatora parametrów 93
2. Ważony estymator liniowy parametrów oparty na metodzie najmniejszych kwadratów 95
3. Etapowa kombinacja ocen 100
4. Rekurencyjny estymator liniowy parametrów oparty na metodzie najmniejszych kwadratów 104

5. Estymatory nieliniowe parametrów 106

5.1. Metoda linearyzacji Gaussa-Newtona 107
5.2. Aproksymacje wielomianowe 108

6. Estymatory parametrów oparte na metodzie największej wiarygodności (MNW) 109

6.1. Ocena parametrów metodą największej wiarygodności .. 112
6.2. Estymator NW dla zmiennych normalnych 113

Rozdział 5. Oceny parametrów rozkładów populacji na podstawie próby losowej

1. Populacja generalna i jej rozkład 115
2. Próba losowa i jej własności 117
3. Estymatory i ich własności 118

4. Metody oceny parametrów populacji na podstawie próby .. 121
4.1. Estymatory oparte na metodzie momentów 122
4.1.1. Estymator wartości średniej oparty na próbie losowej 123
4.1.2. Estymator wariancji oparty na próbie losowej 125

4.2. Oceny parametrów rozkładu normalnego metodą NW ... 127

5. Przedziały ufności 128

5.1. Przedział ufności dla wartości średniej bez znajomości wariancji rozkładu 132
5.2. Przedział ufności dla wartości średniej w dowolnej populacji 133
5.3. Przedział ufności dla wariancji i odchylenia standardowego 133

6. Przedział ufności dla parametrów wyznaczanych metodą najmniejszych kwadratów 135
7. Obszary ufności 137

Rozdział 6. Sterowanie statystycznie optymalne

1. Sterowanie optymalne - przypadek deterministyczny 141

1.1. Problem liniowo - kwadratowy 143

2. Sterowanie optymalne - przypadek stochastyczny 146

2.1. Sterowanie statystycznie optymalne przy różnych strukturach informacyjnych 149
2.2. Problem liniowo - kwadratowy 151
2.2.1. Synteza praw sterowania w układzie otwartym 153
2.2.2. Synteza praw sterowania w układzie otwartym ze sprzężeniem 159
2.2.3. Synteza praw sterowania w układzie zamkniętym ... 166

Bibliografia 177