TREŚĆ Z ZAKŁADKI OBWOLUTY:

Transformacja Laplace'a jest jednym z fundamentalnych narzędzi inżynierów niektórych specjalności, zwłaszcza elektryków i radiotechników, gdyż na niej opiera się rachunek operatorowy. Właśnie dla czytelników ze świata techniki napisał niniejszą książkę jeden z najlepszych w świecie specjalistów w tej dziedzinie — G. Doetsch. Aby uczynić ją bardziej przystępną, autor zrezygnował z wielu dowodów twierdzeń, pozostawiając je jednak w tych rozważaniach, które bez nich nie byłyby zrozumiałe. Liczne przykłady liczbowe znakomicie uzupełniają tekst.

Z PRZEDMOWY AUTORA

Stosowanie przekształcenia Laplace'a do rozwiązywania zagadnień spotykanych w technice wymaga znajomości twierdzeń dotyczących tego przekształcenia. W większości dowody tych twierdzeń nie są bardzo proste, a niektóre z nich są dość długie. Przy wielkiej rozległości wiedzy matematycznej potrzebnej inżynierowi, nie można wymagać, aby studiował szczegółowo wszystkie dowody. Inżynier powinien polegać na poprawności dowodów podanych przez matematyków oraz na ścisłości sformułowanych twierdzeń. Szczególnie ważna jest właśnie ścisłość twierdzeń — niejasne ich sformułowanie przemilczające część założeń może prowadzić do błędnego ich zastosowania.

Powyższe uwagi przyjąłem za podstawę przy pisaniu tej książki. W rozdziale II zostały podane bez dowodu oraz zestawione w sposób przejrzysty i ścisły twierdzenia potrzebne do obliczeń i często używane. Pomocnicze twierdzenia w dalszych rozdziałach zostały również dokładnie sformułowane i wyróżnione w druku kursywą, tak że łatwo można je odszukać.

Książka zawiera wprawdzie wiele dowodów, ale podano je tylko w tych rozważaniach, które inaczej nie byłyby w ogóle zrozumiałe. Zamieszczono także takie dowody, których nie można znaleźć w literaturze.

Dzięki temu, że przedstawienie zagadnień odciążone zostało od rozważań teoretycznych, metody zastosowań przekształcenia Laplace'a można było opracować jasno i zademonstrować na licznych przykładach liczbo-bowych. Starałem się przy tym zawsze uwydatnić myśl przewodnią rozważań. Jeżeli zagadnienie techniczne zostało zapisane matematycznie, na przykład w postaci układu równań różniczkowych, to przekształcenie Laplace'a wskazuje drogę rozwiązywania, bez potrzeby zwracania uwagi na fizyczne znaczenie występujących wielkości. Wynika stąd, że jeśli pewne zagadnienia można w taki sam sposób zapisać matematycznie, to chociaż wyglądają one na zupełnie różne, rozwiązuje się je w taki sam sposób.

Inżynierowie przedstawiają często przekształcenie Laplace'a w ten sposób, że rozwiązują oddzielne zagadnienia z podkreśleniem znaczenia występujących w nich wielkości fizycznych, jakkolwiek w zapisie matematycznym zagadnienia te mają tę samą postać. W przeciwieństwie do tego, w podanych przeze mnie wziętych z praktyki przykładach numerycznych, znaczenie wielkości fizycznych przesunąłem na drugi plan, w celu lepszego uwydatnienia techniki rachunku.

Wykorzystałem okazję, żeby przedstawić poprawnie kilka zagadnień, które w literaturze technicznej traktuje się niewłaściwie. Szczególnie chcę zwrócić uwagę na wyprowadzenie układów jednoczesnych równań różniczkowych w § 15 i § 19. Chodzi tu o fakt, uważany często za paradoks, że w układzie fizycznym, znajdującym się początkowo w stanie spoczynku, wartości początkowe rozwiązań równań różniczkowych nie muszą być równe zeru.

G. DOETSCH

SPIS TREŚCI

Z przedmowy autora .................... 5

Oznaczenia........................ 7

Rozdział I. Określenie przekształcenia Laplace'a

§ 1. Przedstawienie funkcji za pomocą szeregu Fouriera i całki Fouriera . . 9

§ 2. Całka Laplace'a i jej znaczenie fizyczne........... 25

§ 3. Niektóre własności funkcji wyrażonej przez całkę Laplace'a. Przykład 28

§ 4. Całka Laplace'a jako przekształcenie............ 33

Rozdział II. Reguły stosowania przekształcenia Laplace'a

§ 5. Odwzorowanie operacji................ 37

§ 6. Przekształcenia liniowe................. 38

§ 7. Różniczkowanie.............-..... 40

§ 8. Całkowanie.................... 43

§ 9. Mnożenie i splot................... 45

Rozdział III. Równania różniczkowe zwyczajne

§ 10. Równanie różniczkowe rzędu pierwszego........... 49

§ 11. Równanie różniczkowe rzędu drugiego........... 53

{j 12. Niejednorodne równanie różniczkowe n-tego rzędu o wartościach początkowych równych zeri;................ 60

§ 13. Odpowiedzi układu na szczególne typy wzbudzenia....... 69

1. Odpowiedź układu na skok jednostkowy (odpowiedź skokowa.) . 70

2. Charakterystyka impulsowa.............. 73

3. Charakterystyka częstotliwościowa............ 80

§ 14. Równanie różniczkowe jednorodne rzędu n przy dowolnych wartościach początkowych. Drgania własne........... 84

§ 15. Rozwiązanie szczególnego układu jednoczesnych równań różniczkowych 88

§ 16. Ogólny układ jednoczesnych równań różniczkowych....... 97

§ 17. Układ równań różniczkowych o postaci różnej w różnych przedziałach 100

§ 18. Układ równań obwodu sieci elektrycznej........... 105

§ 19. Wartości początkowe dia układów równań różniczkowych .... m

§ 20. Równania różniczkowe nieliniowe............ 125

Rozdział IV. Równania różnicowe i układy sterowane impulsowo

§ 21. Równania różnicowe jednorodne z dowolnymi wartościami początkowymi ...................... 130

§ 22. Równania różnicowe niejednorodne z wartościami początkowymi równymi zeru..................... 139

§ 23. Zagadnienia brzegowe dla równań różnicowych rzędu drugiego . . . 142

§ 24. Układy jednoczesnych równań różnicowych z warunkami początkowymi i brzegowymi (elektryczne połączenie kaskadowe)..... 144

§ 25. Rozwiązywanie równań różnicowych za pomocą dyskretnego przekształcenia Laplace'a................... 152

§ 26. Rozwiązywanie równań różnicowych za pomocą przekształcenia Lau-

renta ...................... 160

§ 27. Element impulsowy i jego opis za pomocą przekształceń...... 166

§ 28. Układy sterowane impulsowo.............. 179

1. Impulsator wytwarzający impulsy punktowe........ i 80

2. Impulsator wytwarzający impulsy o określonym czasie trwania . . 185

3. Impuls przekształcony za pomocą funkcji modulującej..... i 88

Rozdział V. Równania różniczkowe cząstkowe

§ 29. Uwagi ogólne o zastosowaniu przekształcenia Laplace'a do równań różniczkowych cząstkowych............... 194

§ 30. Równanie przewodnictwa cieplnego............ 199

1. Temperatura początkowa równa zeru, temperatury brzegowe dowolne 202

2. Temperatura początkowa dowolna, temperatura na brzegach równa

zeru...................... 206

§ 31. Układ równań podwójnego przewodu elektrycznego z rozłożonymi

stałymi...................... 208

Rozdział VI. Równania całkowe i związki całkowe

§ 32. Równania całkowe typu splotu............. 218

§ 33. Związki całkowe................... 222

Rozdział VII. Obliczanie oryginału z obrazu

§ 34. Całka zespolona odwrotnego przekształcenia Laplace'a..... 225

§ 35. Rozwinięcie w szereg................. 230

1. Rozwinięcie w szereg poiegowy............. 231

2. Rozwinięcie w szereg względem funkcji eksponencjalnej .... 233

3. Rozwinięcie w szereg względem funkcji dowolnej....... 240

§ 36. Obliczanie numeryczne oryginału............. 244

§ 37. Wyznaczenie maksimum oryginału za pomocą obrazu..... 246

Rozdział VIII. Asymptotyczne zachowanie się funkcji i zagadnienie stateczności

§ 38. Twierdzenia graniczne ................ 250

§ 39. Ogólne pojęcia dotyczące przedstawienia i rozwinięcia asymptotycznego

funkcji..................... 225

§ 40. Rozwinięcie asymptotyczne obrazu............. 255

§ 41. Rozwinięcie asymptotyczne oryginału............ 257

§ 42. Badanie stateczności.................. 263

Tablice przekształcenia Laplace'a

1. Operacje..................... 268

2. Funkcje wymierne.................. 271

3. Funkcje niewymierne ................ 280

4. Funkcje przestępne................. 282

5. Funkcje odcinkami różniczko walne............ 287

Spis funkcji........................ 299

Skorowidz nazw..................... 301