Atraktory w modelach równowagi i wzrostu gospodarczego

Równowaga oraz wzrost, obserwowane w wielu procesach gospodarczych, należą do fundamentalnych pojęć ekonomii. W ekonomii matematycznej, podstawowymi narzędziami służącymi do formalnego opisu (modelowania) procesów gospodarczych oraz analizy równowagi i wzrostu, są układy dynamiczne z czasem ciągłym, generowane przez autonomiczne układy równań różniczkowych i układy dynamiczne z czasem dyskretnym. Matematycznym odpowiednikiem stanów równowagi, w których znajdują się lub do których zmierzają badane procesy gospodarcze (lub pewne ich charakterystyki) są atraktory wspomnianych układów dynamicznych. Atraktory te są podzbiorami przestrzeni stanów tych układów. W szczególności atraktory zwane punktowymi reprezentują stany równowagi statycznej, a atraktory okresowe, zwane inaczej cyklicznymi (lub cyklami stabilnymi) oraz „dziwne”, reprezentują równowagę dynamiczną.Zadaniem, które postawił przed sobą Autor było napisanie zwartego opracowania:- zawierającego podstawowy teorii układów dynamicznych z czasem ciągłym, generowanych przez autonomiczne równania różniczkowe zwyczajne, ze szczególnym uwzględnieniem elementów dotyczących atraktorów punktowych, okresowych i dziwnych,- zawierającego w miarę reprezentatywny zbiór modeli ekonomii matematycznej (przede wszystkim modeli równowagi ekonomicznej i modeli wzrostu gospodarczego), w których występują atraktory wspomnianych typów,- pokazującego (na prostych przykładach) korzyści płynące z zastosowania programu „Mathematica” do obliczeń numerycznych i symbolicznych wykonywanych w celu analizy wspomnianych układów dynamicznych oraz do graficznej prezentacji ich trajektorii, portretów fazowych i krzywych całkowych.Całość pracy kończy opis wybranych możliwości programu „Mathematica” dotyczących obliczeń numerycznych i symbolicznych stosowanych w dynamice ekonomicznej. Pokazano m.in. jak obliczać gradient oraz macierz Jacobiego i Hessego funkcji. Podano przykłady rozwiązywania równań algebraicznych, przestępnych i różniczkowych (zwyczajnych, cząstkowych oraz z opóźnionym argumentem). Przedstawiono również podstawowe instrukcje umożliwiające sporządzanie dwuwymiarowej i trójwymiarowej grafiki, w szczególności rysowania portretów fazowych i krzywych całkowych układów dynamicznych z czasem ciągłym.