ANALIZA FUNKCJONALNA
praca zbiorowa pod redakcją
S.G. Krejna
Wydawnictwo: PWN, 1967
Oprawa: twarda płócienna z obwoluta
Stron: 418
Stan: bardzo dobry, nieaktualna pieczątka
Niniejsza, kolejna książka z tej serii zawiera materiał grupujący się dokoła teorii operatorów i równań operatorowych. Wyłożone są tu podstawowe pojęcia i metody analizy funkcjonalnej, teoria operatorów w przestrzeni Hilberta i w przestrzeniach częściowo uporządkowanych, teoria nieliniowych równań operatorowych, teoria pierścieni unormowanych oraz zastosowania do równań różniczkowych i równań całkowych. Osobny rozdział poświęcony jest podstawowym operatorom mechaniki kwantowej. Znaczną część książki zajmuje teoria funkcji uogólnionych uzupełniona licznymi tablicami. Charakter wykładu książki jest konspektywny; w zwięzłej logicznej postaci wykładane są fakty matematyczne: twierdzenia i wzory podawane są bez dowodów. Główny nacisk położony jest na stronę ideową wykładu, bez wnikania w szczegóły.
SPIS TREŚCI:
Przedmowa
1. PODSTAWOWE POJĘCIA ANALIZY FUNKCJONALNEJ
§ 1. Przestrzenie liniowe
1. Pojęcie przestrzeni liniowej
2. Liniowa zależność i niezależność .
3. Podprzestrzenie liniowe i zbiory wypukłe
§ 2. Przestrzenie liniowo-topologiczne, , metryczne, unormowane i przestrzenie Banacha
1. Przestrzeń liniowo-topologiczna
2. Przestrzeń lokalnie wypukła
3. Liniowa przestrzeń metryczna
4. Liniowa przestrzeń unormowana
5. Przykłady liniowych przestrzeni unormowanych
6. Przestrzenie metryczne zupełne. Przestrzeń Banacha
7. Zbiory zwarte
8. Przestrzenie ośrodkowe
§ 3. Funkcjonały liniowe
1. Pojęcie funkcjonału liniowego. Hiperpłaszczyzna
2. Funkcjonały liniowe ciągłe
3. Przedłużanie liniowych funkcjonałów ciągłych
4. Przykłady funkcjonałów liniowych
§ 4. Przestrzenie sprzężone
1. Dwoistość przestrzeni liniowych
2. Przestrzeń sprzężona z liniową przestrzenią unormowaną
3. Słaba i osłabiona topologia
4. Własności kuli w sprzężonej przestrzeni Banacha
5. Przestrzeń ilorazowa i dopełnienie ortogonalne
6. Refleksywne przestrzenie Banacha
§ 5. Operacje liniowe
1. Operacje liniowe ograniczone
2. Przykłady liniowych operacji ograniczonych. Operacje całkowe. Twierdzenia interpolacyjne
3. Zbieżność ciągów operacji
4. Operacja odwrotna
5. Przestrzeń operacji. Pierścień operacji
6. Rezolwenta liniowej operacji ograniczonej. Widmo
7. Operacja sprzężona
8. Operacje pełnociągłe :
9. Operacje o gęstej dziedzinie. Równania liniowe .
10. Operacje nieograniczone domknięte . r'
11. Uwaga o przestrzeniach zespolonych
§ 6. Przestrzenie z bazą Schaudera
1. Zupełność i minimalność układu elementów
2. Pojęcie bazy Schaudera
3. Kryteria dla baz Schaudera
4. Bezwarunkowe bazy Schaudera
5. Stabilność bazy Schaudera
2. OPERACJE LINIOWE W PRZESTRZENI HILBERTA § 1. Abstrakcyjna przestrzeń Hilberta
1. Pojęcie przestrzeni Hilberta
2. Przykłady przestrzeni Hilberta
3. Ortogonalność. Rzut na podprzestrzeń
4. Funkcjonały liniowe
5. Słaba zbieżność
6. Układy ortonormalne
§ 2. Liniowe operacje ograniczone w przestrzeni Hilberta
1. Liniowa operacja ograniczona. Operacja sprzężona. Forma dwuliniowa
2. Operacje unitarne
3. Operacje samosprzężone
4. Samosprzężone operacje pełnociągłe
5. Operacje pełnociągłe
6. Operacje rzutowe
§ 3. Rozkład spektralny operacji samosprzężonych
1. Operacje na operacjach samosprzężonych
2. Rozkład jedynki, funkcja spektralna
3. Funkcje operacji samosprzęzonej
Nieograniczone operacje samosprzężone . .
4. Widmo operacji samosprzężonej
5. Teoria zaburzeń
6. Wielokrotność widma operacji samosprzężonej
7. Uogólnione elementy własne
§ 4. Operacje symetryczne
1. Pojęcie operacji symetrycznej, indeksy defektu
2. Samosprzężone rozszerzenia operacji symetrycznych
3. Samosprzężone rozszerzenia operacji półograniczonych
4. Rozszerzenia rozproszone
§ 5. Zwykłe operacje różniczkowe
1. Samosprzężone wyrażenia różniczkowe
2. Przypadek regularny
3. Przypadek osobliwy
4. Kryteria samosprzężności operacji A o na prostej (—oo, +oo) . . . .
5. Charakter widma samosprzężonych rozszerzeń
6. Rozwinięcie według funkcji własnych
7. Przykłady
8. Odwrotne zagadnienie Sturma-Liouville’a
§ 6. Eliptyczna operacja różniczkowa rzędu drugiego
1. Samosprzężone eliptyczne wyrażenie różniczkowe
2. Operacja minimalna i maksymalna. Funkcje /.-harmoniczne
3. Rozszerzenia samosprzężone odpowiadające podstawowym zagadnieniom brzegowym
§ 7. Skala Hilberta przestrzeni Hilberta
1. Skala Hilberta i jej własności
2. Przykład skali Hilberta. Przestrzenie W%
3. Operacje w skali Hilberta
4. Twierdzenia o śladach
3. LINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE W PRZESTRZENI BANACHA
§ 1. Równania liniowe z operacją ograniczoną
1. Równanie liniowe rzędu pierwszego. Zagadnienie Cauchy’ego . . .
2. Równanie jednorodne z operacją stałą
3. Przypadek przestrzeni Hilberta
Równanie rzędu drugiego
4. Równanie jednorodne z operacją zmienną
5. Równanie o operacji okresowej
6. Równanie niejednorodne
§ 2. Równanie ze stalą operacją nieograniczoną. Półgrupy
1. Zagadnienie Cauchy’ego
2. Jednostajnie poprawnie podstawione zagadnienie Cauchy’ego . . . .
3. Operacja tworząca i jej rezolwenta
4. Osłabione zagadnienie Cauchy’ego
5. Abstrakcyjne równanie paraboliczne. Półgrupy analityczne
6. Odwrotne zagadnienie Cauchy’ego
7. Równania w przestrzeni Hilberta
8. Przykłady konkretnych zagadnień dla równań o pochodnych cząstkowych
9. Równania w przestrzeni z bazą Schaudera. Całki ciągłe
§ 3. Równanie ze zmienną operacją nieograniczoną
1. Równanie jednorodne
2. Przypadek operacji A(t) ze zmienną dziedziną
3. Równanie niejednorodne
4. Potęgi ułamkowe operacji
4. NIELINIOWE RÓWNANIA OPERACJOWE
Uwagi wstępne
§ 1. Operacje i funkcjonały nieliniowe
1. Ciągłość i ograniczoność operacji
2. Różniczkowalność operacji nieliniowej
3. Całkowanie funkcji abstrakcyjnych
4. Operacja Urysona w przestrzeniach C i Lp
5. Operacja /
6. Operacja Hammersteina
7. Pochodne wyższych rzędów
8. Operacje potencjalne
§ 2. Istnienie rozwiązań
1. Metoda kolejnych przybliżeń
2. Zasada odwzorowań zwężających
3. Jednoznaczność rozwiązania
Równania o operacjach pełnociągłych. Zasada Schaudera
4. Wykorzystanie teorii pełnociągłych pól wektorowych
5. Metoda wariacyjna
6. Przekształcanie równań
7. Przykłady. Rozszczepianie operacji
§ 3. Metody jakościowe w teorii rozgałęzienia rozwiązań . .
1. Przedłużanie rozwiązań, twierdzenie o funkcji uwikłanej.
2. Punkty rozgałęzienia
3. Punkty bifurkacji, zasada linearyzacji
4. Przykłady z mechaniki
5. Równania z operacjami potencjalnymi
6. Powstawanie dużych rozwiązań
7. Równanie rozgałęzienia
8. Konstrukcja rozwiązań w postaci szeregów ....
5. OPERACJE W PRZESTRZENIACH CZĘŚCIOWO UPORZĄDKOWANY
§ 1. Stożki w przestrzeniach liniowych
1. Stożek w przestrzeni liniowej
2. Przestrzenie częściowo uporządkowane
3. Przestrzenie A-liniowe, stożki minimalne
4. Przestrzenie typu K
5. Stożki w przestrzeni Banacha
6. Stożki regularne
7. Twierdzenia o realizacji przestrzeni częściowo uporządkowanych . . .
§ 2. Liniowe funkcjonały nicujemne
1. Funkcjonały nieujemne
2. Przedłużenie liniowych funkcjonałów nieujemnych
3. Funkcjonały jednostajnie nieujemne
4. Funkcjonały ograniczone na stożku
§ 3. Nieujemne operacje liniowe *. .
1. Pojęcie operacji* nicujemnej
2. Pozytywne wartości własne
3. Operacje nieujemne przy stożku minimalnym
4. Niejednorodne równanie liniowe
5. Funkcjonały niezmiennicze i wektory własne operacji sprzężonych . .
6. Niezgodne nierówności
§ 4. Operacje nieliniowe
1. Pojęcia wstępne
2. Istnienie rozwiązań nieujemnych
3. Istnienie niezerowego rozwiązania nieujemnego
4. Operacje wklęsłe
5. Zbieżność kolejnych przybliżeń
6. PRZEMIENNE PIERŚCIENIE UNORMOWANE
§ 1. Podstawowe pojęcia
1. Przemienny pierścień unormowany
2. Przykłady pierścieni unormowanych
3. Unormowane ciało
4. Ideały maksymalne i funkcjonały multiplikatywne
5. Przestrzeń ideałów maksymalnych
6. Brzeg pierścieniowy zbioru 2N
7. Funkcje analityczne w pierścieniu
8. Niezmiennicze pod przestrzenie R'
9. Pierścienie z inwolucją
§ 2. Pierścienie grupowe. Analiza harmoniczna
1. Pierścień grupowy
2. Charaktery grupy dyskretnej i maksymalne ideały pierścienia grupowego
3. Grupy dwuzwarte. Zasada dwoistości
4. Grupy lokalnie dwuzwarte
5. Przekształcenie Fouriera
6. Układy hiperzespolone
§ 3. Pierścienie regularne
1. Pierścień regularny
2. Ideały domknięte
3. Pierścień C(S) i jego podpierścienie . .
7. OPERACJE MECHANIKI KWANTOWEJ
§ 1. Ogólne założenia mechaniki kwantowej
1. Stany i wielkości fizyczne układu kwantowo-mechanicznego
2. Reprezentacje systemów algebraicznych
3. Współrzędne i pędy . .
Operator energii. Równanie Schródingera
4. Konkretne układy kwantowo-mechaniczne
5. Przejście od mechaniki kwantowej do klasycznej
§ 2. Samosprzężoność i widmo operatora energii
1. Kryteria samosprzężoności
2. Charakter widma radialnego operatora Schródingera
3. Charakter widma jednowymiarowego operatora Schródingera . . .
4. Charakter widma trójwymiarowego operatora Schródingera . . . .
§ 3. Widmo dyskretne, funkcje własne
1. Rozwiązania dokładne
2. Ogólne własności rozwiązań równania Schródingera
3. Przybliżenie ąuasi-klasyczne dla rozwiązań jednowymiarowego równania Schródingera
4. Obliczanie wartości własnych w przypadku jednowymiarowym i radial- nie-symetrycznym
5. Teoria zaburzeń
§ 4. Rozwiązanie zagadnienia Cauchy'ego dla równania Schródingera ....
1. Ogólne uwagi
2. Teoria zaburzeń
3. Sens fizyczny
4. Quasi-klasyczne wyrażenie asymptotyczne na funkcję Greena . . .
5. Przejście graniczne przy h~>0
6. Quasi-klasyczne wyrażenie asymptotyczne na rozwiązania równania Diraca
§ 5. Widmo ciągłe operatora energii i zagadnienie rozpraszania
1. Postawienie zagadnienia
2. Uzasadnienie postawienia zagadnienia, i jego rozwiązanie
3. Amplituda rozproszenia i jej równanie
4. Przypadek symetrii kulistej
5. Przypadek ogólny . . .
6. Odwrotne zagadnienia teorii rozpraszania
8. DYSTRYBUCJE
§ 1. Dystrybucje i działania na dystrybucjach
1. Uwagi wstępne
2. Oznaczenia
3. Dystrybucje
Działania na dystrybucjach
4. Różniczkowanie i całkowanie dystrybucji
5. Granica ciągu dystrybucji
6. Własności lokalne dystrybucji
7. Iloczyn kartezjański dystrybucji
8. Splot dystrybucji
9. Ogólna postać dystrybucji
10. Twierdzenie o jądrze
§ 2. Dystrybucje i całki rozbieżne
1. Regularyzacja całek rozbieżnych
2. Regularyzacja funkcji x+,x_,x~n i ich kombinacji liniowych . . .
3. Regularyżacja funkcji o osobliwościach potęgowych
4. Regularyzacja w przedziale skończonym
5. Regularyzacja w nieskończoności
6. Regularyzacje niekanoniczne . .
7. Dystrybucje x+, x*l i dystrybucje do nich analogiczne jako funkcje parametru A
8. Dystrybucje jednorodne
9. Tablica pochodnych niektórych dystrybucji
10. Różniczkowanie i całkowanie dowolnego rzędu
11. Wyrażenie niektórych funkcji specjalnych za pomocą pochodnych rzędu ułamkowego
§ 3. Niektóre dystrybucje wielu zmiennych
1. Dystrybucja rl
2. Dystrybucje związane z formami kwadratowymi
3. Dystrybucje (P+i 0)A oraz (P—i'0)A
4. Dystrybucje postaci /(&, ż)
5. Dystrybucje na powierzchniach gładkich
§ 4. Przekształcenie Fouriera dla dystrybucji
1. Przestrzeń S i dystrybucje temperowane
2. Przekształcenie Fouriera dla dystrybucji temperowanych
3. Przekształcenie Fouriera dla dowolnych dystrybucji
4. Tablica transformat Fouriera dystrybucji jednej zmiennej
5. Tablica transformat Fouriera dystrybucji wielu zmiennych . . . .
6. Dystrybucje dodatnio określone
§ 5. Przekształcenie Radona
1. Przekształcenie Radona funkcji podstawowych i własności tego przekształcenia
Przekształcenie Radona dla dystrybucji
2. Tablica transformat Radona niektórych dystrybucji w nieparzystowy- miarowej przestrzeni
§ 6. Dystrybucje a równania różniczkowe
1. Rozwiązania podstawowe
2. Rozwiązania podstawowe dla niektórych równań różniczkowych . . .
3. Konstrukcja rozwiązań podstawowych dla równań eliptycznych . . .
4. Rozwiązania podstawowe jednorodnych równań regularnych . . .
5. Rozwiązanie podstawowe zagadnienia Cauchy'ego
§ 7. Dystrybucje w przestrzeni zespolonej
1. Dystrybucje jednej zmiennej zespolonej
2. Dystrybucje m zmiennych zespolonych
Literatura
Skorowidz literatury według rozdziałów
Skorowidz symboli
SkorowiJz rzeczowy
