ANALIZA

CZĘŚĆ 1 ELEMENTY

Krzysztof Maurin

BIBLIOTEKA MATEMATYCZNA TOM 38

Wydawnictwo: PWN, 1976
Oprawa: twarda płócienna z obwolutą
Stron: 486
Stan: bardzo dobry (-)

Nakład: 5150 egz.

Książka niniejsza, aczkolwiek powstała na bazie wykładów z analizy dla studentów fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, znacznie wykracza poza program tych wykładów i zawiera materiał, który zainteresuje nie tylko fizyków, ale także matematyków i w ogóle wszystkich zajmujących się analizą matematyczną z racji swego zawodu czy pracy naukowej lub dydaktycznej.
Analiza należy niewątpliwie do najnowocześniejszych książek traktujących o analizie matematycznej i jest pierwszą o takim zakresie i bogactwie materiału.
Autor rozpoczyna wykład od pojęć i zagadnień elementarnych i dochodzi, poprzez fakty z analizy klasycznej, do problemów i teorii będących przedmiotem badań współczesnej matematyki. Ukazuje przy tym wzajemne związki różnych działów i teorii aualizy oraz ich zastosowania do innych działów matematyki i do fizyki. Prostota i jasność wykładu, zwięzły styl, podanie wszelkich niezbędnych definicji, liczne przykłady i komentarze odautorskie umożliwiają czytelnikowi — nawet o skromnej wiedzy matematycznej — poznanie najważniejszych wyników i kierunków rozwoju współczesnej analizy matematycznej.
Część I ma charakter podręcznika i zawiera m. in. materiał należący do programowego wykładu z analizy.

SPIS RZECZY

Rozdział I. Zbiory. Relacje. Odwzorowania. Rodziny. Liczby rzeczywiste
§ 1. Oznaczenia logiczne. Prawa de Morgana.
§ 2. Algebra zbiorów
§ 3. Iloczyn kartezjański. Relacje. Odwzorowania. Rodziny zbiorów.
§ 4. Relacjo równoważności. Przestrzeń i struktura ilorazowa
§ 5. Lemat Kuratowskicgo-Zorna. Relacje porządkujące
§ 6. Teoria liczb rzeczywistych według Cantora
§ 7. Działania na liczbach rzeczywistych. Granica ciągu liczb rzeczywistych"
§ 8. Twierdzenia o granicach ciągów.

Rozdział II. Przestrzenie metryczne. Odwzorowania ciągłe
§ 1. Pojęcia odległości i przestrzeni metrycznej
§ 2. Produkt przestrzeni metrycznych
§ 3. Kresy zbioru
§ 4. Zbiory otwarte. Topologia przestrzeni
§ 6. Zbiory domknięte. Domkniotość zbioru
§ 6. Ciągi Cauchy'ego; zupełność przestrzeni metrycznej
§ 7. Odwzorowania ciągłe.
§ 8. Zwartość
§ 9. Funkcje i odwzorowania ciągłe na zbiorach zwartych.
§ 10. Przestrzenie, spójne

Rozdział III. Różniczkowanie i całkowanie funkcji jednej zmiennej
§ 1. Pochodna i różniczka
§ 2. Własności pochodnych.
§ 3. Zbiory skierowane. Ciągi uogólniono (ogólna teoria granic).
§ 4. Całka Riemanna
§ 6. Logarytm i funkcja wykładnicza.
§ 6. Funkcjo exp oraz logarytm jako granice.
§ 7. Rozszerzanie odwzorowań ciągłych.
§ 8. Funkcje hiperboliczne

Rozdział IV. Zbiory i funkcje wypukłe
§ 1. Zbiory i funkcje wypukłe. Kryteria wypukłości.
§ 2. Wypukłość a półciągłość.

Rozdział V. Wzór Taylora. Zbieżność ciągów odwzorowań. Szeregi potęgowe
§ 1. Uogólnione twierdzenie o wartości średniej rachunku całkowego
§ 2. Wzór Taylora
§ 3. Zastosowania wzoru Taylora
§ 4. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu odwzorowań
§ 6. Szeregi potęgowe.
§ 6. Funkcje analityczne.
§ 7. Funkcje trygonometryczne i ich związek z funkcją exp.

Rozdział VI. Całki na zbiorach niezwartych
§ 1. Całki na zbiorach niezwartych.

Rozdział VII. Przestrzenie Banacha. Różniczkowanie odwzorowań. Ekstrema funkcji i funkcjonałów
§ 1. Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha
§ 2. Odwzorowania liniowe ciągłe przestrzeni Banacha
§ 3. Różniczkowanie odwzorowań przestrzeni Banacha
§ 4. Formalne prawa różniczkowania
§ 5. Twierdzenia o wartości średniej
§ 6. Pochodne cząstkowe.
§ 7. Odwzorowania wieloliniowe
§ 8. Pochodne wyższych rzędów
§ 9. Wzór Taylora
§ 10. Pochodne słabe (pochodne Gateaux)
§ 11. Ekstrema funkcji i funkcjonałów.
12. Różniczkowanie na zbiorach nieotwartych.

Rozdział VIII. Metoda kolejnych przybliżeń. Lokalna odwracalność odwzorowań. Ekstrema związane
§ 1. Metoda kolejnych przybliżeń. Zasada Banacha
§ 2. Lokalna odwracalność odwzorowań. Twierdzenie o rzędzie
§ 3. Odwzorowania uwikłano.
§ 4. Ekstrema związane.

Rozdział IX. Równania różniczkowe zwyczajne
§ 1. Całkowanie funkcji o wartościach wektorowych
§ 2. Równania różniczkowe. Zagadnienie początkowo
§ 3. Zależność rozwiązania od parametru.
§ 4. Zależność rozwiązania od warunków początkowych
§ 5. Układy równań różniczkowych
§ 6. Równania wyższych rzędów
§ 7. Równania z prawą stroną analityczną.
§ 8. Twierdzenie Peano
§ 9. Równania różniczkowe liniowe.
§ 10. Odwzorowanie A -» expA.
§ 11. Ogólna postać rezolwenty równania jednorodnego
§ 12. Równania liniowe w przestrzeni skończenie wymiarowej
§ 13. Równanie skalarne /i-tego rzędu. Wyznacznik Wrońskiego
§ 14. Równania liniowe o stałych współczynnikach
§ 15. Równania skalarne //-togo rzędu o stałych współczynnikach
§ 16. Całki pierwsze
§ 17. "Układy dynamiczne.
§ 18. Równania cząstkowe pierwszego rzędu. Metoda charakterystyk
§ 19. Twierdzenie Frobeniuaa-Dieudonnego

Rozdział X. Teoria krzywych w przestrzeni E"
§ 1. Krzywa i długość hiku. Opis naturalny
§ 2. Ortonormalizaeja Schmidta
§ 3. Wzory Freneta
§ 4. Krzywe zwyrodniałe.
§ 6. Twierdzenie podstawowe teorii krzywych

Rozdział XI. Rodziny funkcji ciągłych na przestrzeni prezwartej
§ 1. Przestrzenie topologiczne.
§ 2. Prezwartość. Twierdzenie Aaoołiego
§ 3. Twierdzenie Stone'a-Wcicrstrasaa. Jednof ajna aproksymacja funkcji ciągłych
na zbiorach zwartych.
§ 4. Funkcje okresowo i prawio okresowo

Rozdział XII. Teoria całki
§ 1. Uzwarcenie osi liczbowej R
§ 2. Całka Daniella-Stono'a
§ 3. Funkcjonał //* i jego własności
§ 4. Miara zewnętrzna zbiorów
§ 5. Pólnormy Np. Nierówności Minkowskiego i Hóldera.
§ (i. Przestrzenie?p.
§ 7. Przestrzenie St°
§ t>. Przestrzeń SC1 funkcji całkowalnych. Całka
§ 9. Zbiór | 10. Zastosowanie twierdzenia Lebesgue'a. Całki z parametrem. Całkowanie szeregów
§ 11. Funkcje mierzalne
j 12. Miara. Zbiory calkowalno.
§ 13. Aksjomat Stone'a i jego konsekwencje.
§ 14. Przestrzenie L?
§ 15. Twierdzenie Hahna-Banacha.
§ 16. Przestrzenie Ililberta. Twierdzenie o ro/.kladzie ortogonalnym. Postać funkcjonału liniowego.
§ 17. Mocny aksjomat Stone'a i jego konsekwencje
§ 18. Iloczyn tensorowy całek
§ 19. Całka Radona. Druga procedura Stone'a
§ 20. Skończone miary Radona- Miary jędrne
§ 21. Zloczyn tensorowy całek Radona
§ 22. Całka Lebesgue'a na R". Zamiana zmiennych
§ 23. Odwzorowanie całek Radona.
§ 24. Całki z gęstością. Twierdzenie Radona-Nikodyma
§ 25. Całka Wicnora
§ 26. Twierdzenie Kołmogorowa.
§ 27. Całkowanie pól wektorowych.
§ 28. Całki proste przestrzeni Hilberta
§ 29. O równoważności teorii całki Stono'a z teorią całki Radona
§ 30. Od miary do ealki

Rozdział XIII. Formy różniczkowe. Twierdzenie Stokesa. Kohomologia. Analiza wektorowa
§ 1. Formy różniczkowe
§ 2. Odwzorowania form różniczkowych
§ 3. Grupy kohomologii. Lomat Poincarego.
§ 4. Przestrzeń łańcuchów. Brzeg łańcucha.
§ 6. Twierdzenie Stokesa i jego konsekwencje
§ 6. Całkowanie po dziedzinie skończonej
§ 7. Elementy analizy wektorowej
§ 8. Analiza wektorowa w R3.
§ 9. Przykład zastosowania form różniczkowych do elektrodynamiki
§ 10. Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym
§ 11. Zasada Schaudera
Dodatek. Całkowanie funkcji wymiernych
§ 1. Całkowanie funkcji wymiernych
§ 2. Ważniejsze podstawienia, całki, funkcje, szeregi.

Skorowidz oznaczeń
Skorowidz nazw