ALGEBRA WYŻSZA

ALGEBRA LINIOWA WIELOMIANY ALGEBRA OGÓLNA

A.P. Miszyna

I.W. Proskuriakow

Wydawnictwo: PWN, 1966
Oprawa: twarda płócienna z obwolutą
Stron: 336
Stan: bardzo dobry, nieaktualna pieczątka

Niniejsza książka jest pierwszą z nowej serii zatytułowanej „Prze­glądowa Biblioteka Matematyki". Seria ta będzie zawierała zwięzłe opracowania różnych działów ma­tematyki klasycznej i nowoczesnej. Ponieważ książki tej serii będą miały raczej charakter informacyj­ny, w większości wypadków nie będą zawierały dowodów przed­stawionych twierdzeń, przez co w niewielkiej objętości będzie mo­żna zawrzeć obfity materiał rze­czowy. Przeznaczone będą głównie dla przedstawicieli świata techniki, ale będą z nich korzystać na pewno również studenci fizyki i mate­matyki.
„Algebra wyższa" A. P. Misziny i I. W. Proskuriakowa obejmuje problematykę algebry liniowej (ma­cierze, wyznaczniki, układy równań liniowych, formy kwadratowe), al­gebry wielomianów (działania na wielomianach, równania algebrai­czne z jedną niewiadomą oraz własności ich rozwiązań, funkcje wymierne, wielomiany wielu zmien­nych) oraz ważniejszych pojęć współczesnej algebry (grupy, pierś­cienie, ciała, algebry, struktury).

SPIS TREŚCI:

Przedmowa   
Wstęp   

1. WYZNACZNIKI I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

§ 1. Wyznaczniki   
1. Permutacje   
2. Pojęcie wyznacznika dowolnego stopnia   
3. Własności wyznaczników   
4. Minory i dopełnienia algebraiczne. Rozwinięcie wyznacznika względem wiersza lub kolumny   
5. Obliczanie wyznaczników o elementach liczbowych   
6. Metody obliczania wyznaczników stopnia n   
7. Wyznacznik Vandermonde'a i wyznaczniki z nim związane . .
8. Wyznacznik Jacobiego i jego przypadki szczególne   
9. Minory dowolnego stopnia, ich dopełnienia algebraiczne i twierdzenie Laplace'a   
10. Rozwinięcie wyznacznika względem elementów wierszy i ko­lumn. Wyznaczniki obrzeżone       
11. Mnożenie wyznaczników. Twierdzenie Binetta-Caucky'ego . .
12. Wyznacznik cykliczny i wyznaczniki z nim związane . . .
13. Wyznaczniki dołączone i stowarzyszone. Ich minory i wzór Sylvestera    .... .
14. Wyznaczniki symetryczne, skośnosymetryczne i pseudo- symetryczne   
15. Iloczyn Kroneckera wyznaczników       
16. Nierówność Hadamarde'a i inne nierówności związane z wy­znacznikami    

§ 2. Układy równań liniowych   
1. Ogólne wiadomości   
2. Metoda Gaussa eliminacji niewiadomych   
3. Reguła Cramera       
4. Rząd macierzy   
5. Ogólna teoria równań liniowych   
C. Układ jednorodny równań liniowych. Układ fundamentalny rozwiązań   
7. Związek pomiędzy rozwiązaniami układów niejednorodnych i jednorodnych   

2. MACIERZE I FORMY KWADRATOWE

§ 1. Macierze   
1. Działania na macierzach   
2. Macierz jednostkowa i odwrotna   
3. Potęgowanie macierzy. Wielomiany macierzy. Macierze prze­mienne    
4. Związek mnożenia macierzy z przekształceniami elementar­nymi. Rozkład macierzy na iloczyn macierzy trójkątnych .
5. Macierze wielomianowe, czynniki inwariantne i dzielniki ele­mentarne    
(i. Wielomiany macierzowe   
7. Wartości własne i wektory własne macierzy   
8. Wielomian minimalny macierzy   
9. Macierze podobne                
10. Postać diagonalna macierzy   
11. Postać kanoniczna Jordana macierzy   
12. Postać kanoniczna wymierna i inne postacie kanoniczne ma­cierzy    
13. Macierze Jacobiego   
14. Macierze dołączone i zbudowane z minorów   
15. Iloczyn Kroneckera macierzy   
16. Macierze ortogonalne i unitarne   
17. Macierze symetryczne, skośnosyinetryczne i hermitowskie . .
18. Macierze normalne   

§ 2. Formy dwuliniowe i kwadratowe   
1. Równoważność. Postać kanoniczna i normalna. Sprowadzanie do postaci kanonicznej metodą Lagrange'a i Jacobiego ....
2. Rzeczywiste formy kwadratowe. Prawo bezwładności. In­deksy bezwładności i sygnatura   
3. Dodatnio określone formy kwadratowe   
4. Przekształcenia ortogonalne form kwadratowych. Sprowa­dzanie form kwadratowych do osi głównych   
5. Para form. Pęk form   
6. Ekstremalne własności wartości własnych pęku regularnego form   
7. Formy zespolone drugiego rodzaju. Formy hermitowskie . .
8. Formy Henkela    -   

3. ALGEBRA WIELOMIANÓW

§ 1. Ogólne własności wielomianów   
1. Określenia. Przykłady   
2. Dzielenie z resztą           
3. Schemat Hornera   
4. Rozkład wielomianu według potęg różnicy   
5. Największy wspólny dzielnik dwóch wielomianów   
6. Wielomiany względnie pierwsze   
7. Przedstawienie d(x) = (f(x), g(x)) w postaci d(x) = f(x)u(x) + + g(x)v(x)           
8. Usuwanie niewymierności z mianownika   
9. Największy wspólny dzielnik kilku wielomianów   
10. Pierwiastki wielomianu. Wyznaczanie pierwiastków wielo­krotnych        
11. Wzory Vićte'a   
12. Pierwiastki wspólne dwóch wielomianów. Rugownik. Wy­różnik    

§ 2. Wzory interpolacyjne Lagrange'a i Newtona   

§ 3. Znajdowanie pierwiastków wielomianu. Rozkład wielomianu na czynniki   
1. Rozwiązywanie równań stopnia drugiego   
2. Rozwiązywanie równań stopnia trzeciego   
3. Rozwiązywanie równań stopnia czwartego   
4. O równaniach stopnia wyższego niż czwarty   
5. Pierwiastki wymierne wielomianów o współczynnikach wy­miernych    
0. Rozkład wielomianu n» czynniki stopnia pierwszego i dru­giego    
7. Wielomiany nierozkładalne   
8. Rozkład wielomianu na czynniki nierozkładalne w ciele liczb wymiernych   
9. Funkcje wymierne   

§ 4. Granice pierwiastków wielomianu. Twierdzenia o ilości pierwiast­ków    
1. Granice pierwiastków rzeczywistych wielomianu o współczyn­nikach rzeczywistych   
2. Twierdzenia o ilości pierwiastków rzeczywistycli   
3. Granice pierwiastków zespolonych   
4. Ilość pierwiastków w lewej i prawej półpłaszczyźnie . . .
5. Kryteria stabilności    -   
6. Obszar stabilności   

§ 5. Wielomiany wielu zmiennych   
1. Definicje   
2. Wielomiany symetryczne   
3. Wyrażenie sum potęgowych za pomocą wielomianów symet­rycznych    
4. Układ równań algebraicznych wielu zmiennych   

4. ALGEBRA OGOLNA

§ 1. Grupy    
1. Definicja grupy, przykłady   
2. Izomorfizm grup   
3. Homomorfizm   
4. Podgrupy. Grupy cykliczne   
5. Układy generatorów. Ciągi rosnące podgrup .
6. Warstwy. Rozkład grup na podgrupy . . .
7. Dzielnik normalny grupy   
8. Grupa ilorazowa   
9. Grupy permutacji   
10. Iloczyny proste grup   
11. Grupy Abela   

§ 2. Pierścienie   
1. Definicje. Przykłady   
2. Izomorfizm. Homomorfizm   
3. Podpierścienie. Ideały   
4. Sumy proste pierścieni       
5. Pierścień ilorazowy   

§ 3. Pola. Ciała   
1. Pola   
2. Ciała . . .    

§ 4. Algebry    

§ 5. Struktury   
1. Zbiory częściowo uporządkowane   
2. Podstawowe definicje   
3. Struktury Dedekinda i struktury rozdzielne
4. Algebra Boole'a   
Literatura    , . . ,
Wykaz symboli   
Skorowidz