Algebra
Bolesław Gleichgewicht
rok wydania: 2004 (wyd.II)
stron: 387
oprawa: miękka
format: B5
wydawnictwo: GiS
Książka składa się z osiemnastu rozdziałów i wstępu, zawiera także dwa dodatki, bibliografię, skorowidz symboli, skorowidz nazwisk i skorowidz nazw. Składają się na nią organicznie związane ze sobą, ale w pewnym sensie odrębne, tematyki: algebra ogólna, zwana też po prostu algebrą (dawniej także algebrą wyższą) oraz algebra liniowa. Korzenie tej pierwszej tkwią w rozwiązywaniu i teorii równań algebraicznych, tej drugiej - w rozwiązywaniu i teorii układów równań liniowych oraz w geometrii analitycznej, także wielowymiarowej. Ta dwoistość tematyki znalazła swe odbicie w układzie książki.
Po rozdziale zawierającym wiadomości wstępne kolejne trzy poświęcone są algebrze ogólnej i jeden liczbom zespolonym. Po nich następuje siedem rozdziałów zawierających algebrę liniową, w rozdziałach XIII-XVII powraca się znów do algebry ogólnej, wreszcie rozdział XVIII dotyczy teorii liczb. To zazębienie się dwóch tematyk jest nieprzypadkowe. Rozdziały II-IV są propedeutyką algebry ogólnej i wraz z rozdziałem V mają dać Czytelnikowi aparat potrzebny do studiowania algebry liniowej na dość wysokim poziomie abstrakcji i ogólności, nie ograniczając jej do rozważania przestrzeni liniowych wyłącznie nad ciałami liczbowymi. Z kolei pojęcia i twierdzenia algebry liniowej są potrzebne w następujących po niej rozdziałach algebry ogólnej. Dwa rozdziały, mianowicie XII i XVIII, wymagają pewnego komentarza. Rozdział XII poświęcony jest przestrzeniom afinicznym. Stanowi on pomost między algebrą i geometrią i, z pewną dozą umowności, można powiedzieć, że tematycznie jest bliższy geometrii niż algebrze. Za umieszczeniem go w podręczniku algebry (był w nim także w poprzednich wydaniach, przemawia to, że w znacznej części szkół wyższych wprowadzono wykład algebry liniowej z geometrią, a w swoim czasie, gdy podręcznik ten powstał, istniała tendencja do łączenia wykładu algebry (wraz z algebrą liniową) z wykładem geometrii analitycznej. Jest on przy tym bardzo bliski tematycznie rozdziałom VI-XI. Rozdział XVIII zawiera pewne elementy teorii liczb, nie będącej częścią algebry. Materiał jego jest jednak szczególnie bliski algebrze i może być wyłożony w bezpośrednim z nią związku.
Wprowadzone w książce pojęcia są ilustrowane licznymi przykładami, pomagającymi w stworzeniu sobie przez Czytelnika odpowiednich intuicji, co zapobiega czczemu formalizmowi w przyswajaniu teorii. Temu też celowi służą między innymi umieszczone w zakończeniu każdego paragrafu zadania. Polecamy je gorąco uwadze Czytelnika. Trudniejsze z nich oznaczone są gwiazdką. Zadania mające samodzielną wartość teoretyczną bądź te, na które powołano się w tekście książki (oprócz cytowanych jedynie w innych zdaniach), oznaczone są krzyżykiem. Książka podzielona jest na rozdziały, z których każdy dzieli się z kolei na paragrafy. Rozdziały poprzedzone są krótkim omówieniem ich treści. W książce stosowana jest dwuliczbowa numeracja definicji, twierdzeń, wzorów itd. Pierwsza liczba oznacza numer rozdziału, druga - numer definicji, twierdzenia, wzoru itd. w tym rozdziale. Na końcu każdego dowodu umieszczony jest znak ■. Odsyłacze do literatury podane są w kwadratowych nawiasach. Bibliografia znajduje się na końcu książki. Autor uaktualnił ją, podając ostatnie wydania odpowiednich pozycji. Dodano też kilka nowych. Aby nie zmieniać numeracji poprzednich, podano je poza porządkiem alfabetycznym na końcu.
SPIS TREŚCI:
PRZEDMOWA
WSTĘP
ROZDZIAŁ I. WIADOMOŚCI WSTĘPNE
1. Symbolika logiczna i mnogościowa
2. Relacje. Funkcje. Diagramy
3. Indukcja matematyczna. Znaki sumy i iloczynu
ROZDZIAŁ II. GRUPY
1. Działania
2. Działania przemienne, działania łączne. Element neutralny. Prawo skracania
3. Definicja i najprostsze własności grupy
4. Grupy permutacji
5. Podgrupy
ROZDZIAŁ III. PIERŚCIENIE I CIAŁA
1. Definicja i najprostsze własności pierścienia
2. Definicja i najprostsze własności ciała
3. Podpierścienie i podciała
ROZDZIAŁ IV. IZOMORFIZMY I HOMOMORFIZMY
1. Izomorfizmy zbiorów z działaniami, grup i pierścieni
2. Homomorfizmy zbiorów z działaniami, grup i pierścieni
3. Zanurzenia izomorficzne
ROZDZIAŁ V. CIAŁO LICZB ZESPOLONYCH
1. Konstrukcja ciała liczb zespolonych
2. Liczby sprzężone. Moduł liczby zespolonej. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych
3. Postać trygonometryczna liczby zespolonej
4. Zasadnicze twierdzenie algebry liczb zespolonych
ROZDZIAŁ VI. PRZESTRZENIE LINIOWE
1. Definicja i najprostsze własności przestrzeni liniowej
2. Podprzestrzenie
3. Liniowa zależność i niezależność wektorów
4. Baza i wymiar przestrzeni liniowej
5. Izomorfizmy przestrzeni liniowych
ROZDZIAŁ VII. MACIERZE I WYZNACZNIKI
1. Działania na macierzach
2. Algebra macierzy
3. Definicja i własności wyznacznika
4. Rozwinięcie Laplace'a
5. Macierz odwrotna
ROZDZIAŁ VIII. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
1. Układy cramerowskie
2. Rząd macierzy
3. Ogólna teoria układów równań liniowych
4. Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą eliminacji
5. Układy jednorodne
ROZDZIAŁ IX. HOMOMORFIZMY PRZESTRZENI LINIOWYCH
1. Definicja homomorfizmu przestrzeni liniowej
2. Algebra endomorfizmów przestrzeni liniowej
3. Reprezentacja macierzowa algebry endomorfizmów przestrzeni liniowej
4. Dalsze własności endomorfizmów przestrzeni liniowej
5. Zmiana bazy
6. Wektory własne i wartości własne endoformizmów
ROZDZIAŁ X. FUNKCJONAŁY I FORMY
1. Funkcjonały i formy liniowe oraz dwuliniowe
2. Funkcjonały kwadratowe i formy kwadratowe
3. Funkcjonały kwadratowe i formy kwadratowe w przestrzeniach rzeczywistych
ROZDZIAŁ XI. PRZESTRZENIE EUKLIDESOWE
1. Iloczyn skalarny. Definicja przestrzeni euklidesowej
2. Przestrzenie euklidesowe jako przestrzenie unormowane i metryczne
3. Bazy ortonormalne
4. Wyznacznik Grama
5. Izomorfizmy i endomorfizmy przestrzeni euklidesowych
6. Endomorfizmy samosprzężone
7. Endomorfizmy ortogonalne
ROZDZIAŁ XII. PRZESTRZENIE AFINICZNE
1. Definicja i najprostsze własności przestrzeni afinicznej
2. Rozmaitości liniowe
3. Odwzorowania afiniczne
4. Rozmaitości stopnia drugiego w przestrzeniach euklidesowych punktów
ROZDZIAŁ XIII. ELEMENTY TEORII GRUP
1. Zanurzenia izomorficzne grup
2. Grupy cykliczne
3. Warstwy
4. Dzielnik normalny. Grupa ilorazowa
5. Kongruencje w grupach. Związek homomorfizmów grup z dzielnikami normalnymi
ROZDZIAŁ XIV. ELEMENTY TEORII PIERŚCIENI
1. Pierścienie wielomianów
2. Ideały. Pierścień ilorazowy
3. Kongruencje w pierścieniach. Związek homomorfizmów pierścieni z ideałami
4. Ideały pierwsze i ideały maksymalne
ROZDZIAŁ XV. TEORIA PODZIELNOŚCI W PIERŚCIENIACH CAŁKOWITYCH
1. Relacja podzielności w pierścieniach całkowitych
2. Teoria podzielności w pierścieniach z jednoznacznością rozkładu
3. Teoria podzielności w pierścieniach głównych i pierścieniach euklidesowych
4. Teoria podzielności w pierścieniu liczb całkowitych i w pierścieniach wielomianów nad ciałem
ROZDZIAŁ XVI. PIERŚCIENIE WIELOMIANÓW
1. Funkcje wielomianowe. Pierwiastki wielomianów
2. Ciała algebraicznie zamknięte
3. Wielomiany o współczynnikach zespolonych i rzeczywistych
4. Wielomiany o współczynnikach całkowitych i wymiernych
5. Ciało liczb algebraicznych
6. Pierścienie wielomianów wielu zmiennych
7. Wielomiany symetryczne
ROZDZIAŁ XVII. ELEMENTY TEORII CIAŁ
1. Ciało ułamków pierścienia całkowitego
2. Rozszerzenia ciał
ROZDZIAŁ XVIII. ELEMENTY TEORII LICZB
1. Algorytm Euklidesa, ułamki łańcuchowe i równania nieoznaczone
2. Kongruencje
3. Liczebniki i podstawy numeracji
DODATEK I. DOWÓD ZASADNICZEGO TWIERDZENIA ALGEBRY
DODATEK II. PRZESTRZENIE UNITARNE
BIBLIOGRAFIA
SKOROWIDZ SYMBOLI
SKOROWIDZ NAZWISK
SKOROWIDZ NAZW
